《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 某市统一规定，出租车在城区内运营的收费标准：3千米以内(含3千米)票价10元；3千米以上，每增加1千米(不足1千米的按1千米计算)票价增加2元.某人乘坐市内出租车6.5千米应付车费 (D)

A.15元
B.16元
C.17元
D.18元

答案： 1.D　由题可得6.5 - 3 = 3.5，故某人乘坐市内出租车6.5千米应付车费10 + 2×4 = 18(元)，故选D。

2. 用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长为 (A)

A.3 m
B.4 m
C.$\frac{3}{2}$ m
D.$\frac{5}{2}$ m

答案： 2.A　设隔墙的长为xm，0＜x＜6，场地面积为Sm²，则S = x·$\frac{24 - 4x}{2}$ = 12x - 2x² = - 2(x - 3)² + 18，所以当x = 3时，S有最大值，为18，故隔墙的长为3m时，矩形场地的面积最大。

3. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为$p$，第二年的增长率为$q$，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 (D)

A.$\frac{p + q}{2}$
B.$\frac{(p + 1)(q + 1) - 1}{2}$
C.$\sqrt{pq}$
D.$\sqrt{(p + 1)(q + 1)} - 1$

答案： 3.D　设年平均增长率为x，则有(1 + p)(1 + q) = (1 + x)²，解得x = $\sqrt{(p + 1)(q + 1)}$ - 1。

4. “空气质量指数(AQI)”是一个衡量空气污染程度的综合指标.当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0～24时的空气质量指数$y$随时间$t$变化的趋势由函数$y = \begin{cases}-10t + 290, 0 \leq t \leq 12, \\ 56\sqrt{t} - 24, 12 ＜ t \leq 24\end{cases}$描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为 ( )

A.5小时
B.6小时
C.7小时
D.8小时

答案： 4.C　由题知，当AQI小于等于200时，适宜开展户外活动，即y≤200。
因为y = $\begin{cases}-10t + 290, & 0\leq t\leq12 \\ 56\sqrt{t} - 24, & 12\lt t\leq24\end{cases}$，所以当0≤t≤12时，只需 - 10t + 290≤200，解得9≤t≤12；
当12＜t≤24时，只需56$\sqrt{t}$ - 24≤200，解得12＜t≤16。
综上，适宜开展户外活动的时间段为9≤t≤16，共计7个小时。故选C。

5. 一位报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸 (C)

A.215份
B.350份
C.400份
D.250份

答案： 5.C　根据题意，设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸，每月所获利润为y元，具体情况如表。
数量/份　　单价/元　　金额/元
买进　　　30x　　　　　2　　　　60x
卖出　　20x + 10×250　　　3　　　60x + 7500
退回　　10(x - 250)　　　0.8　　8x - 2000
∴y = [(60x + 7500) + (8x - 2000)] - 60x = 8x + 5500 (250≤x≤400，x∈N)。
∵y = 8x + 5500在[250，400]上单调递增，
∴当x = 400时，y取得最大值8700。
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元。故选C。

6. (多选)(2024·江西南昌二中月考)据市场调查分析，某地区半年的前$n$个月内，对某种商品的需求累计$f(n)$(单位：万件)近似地满足关系：$f(n) = n(n + 2)(6 - n)$，$n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$，则需求量超过3万件的月份为 (BCD)

A.4月
B.3月
C.2月
D.1月

答案： 6.BCD　当n = 1时，f
(1) = 15＞3，满足题意；当n≥2时，f(n) - f(n - 1) = n(n + 2)(6 - n) - (n - 1)(n + 1)(7 - n)
= - 3n² + 11n + 7，
令 - 3n² + 11n + 7＞3，即3n² - 11n - 4＜0，
解得 - $\frac{1}{3}$＜n＜4，又n∈N，n≥2，
所以n = 2，3，故选BCD。

7. 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，则游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.写出飞机票的价格$y$(单位：元)关于人数$x$(单位：人)的函数关系式为.

答案： 7.y = $\begin{cases}900x, & 0\lt x\leq30 \\ - 10x² + 1200x, & 30\lt x\lt75\end{cases}$，x∈N
解析　由题意，得x∈N，当0＜x≤30时，y = 900x；当30 ＜x＜75时，y = [900 - (x - 30)×10]x = - 10x² + 1200x。
则飞机票的价格y(单位:元)关于人数x(单位:人)的函数关系式为y = $\begin{cases}900x, & 0\lt x\leq30 \\ - 10x² + 1200x, & 30\lt x\lt75\end{cases}$，x∈N。

8. 某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价应为$\frac{17}{2}$元/件.

答案： 8.$\frac{17}{2}$
解析　设定价为x元/件，日均销售利润为y元，
由题意可知y = (x - 3)[400 - 40(x - 4)] = 40(- x² + 17x - 42)，
当x = $\frac{17}{2}$时，y最大，故此商品的定价应为$\frac{17}{2}$元/件。

9. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本$y$(元)与月处理量$x$(吨)之间的函数关系可近似表示为$y = \frac{1}{2}x^2 - 200x + 180\ 000$，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1) 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2) 该单位每月能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？

答案： 9.解　
(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为$\frac{y}{x}$ = $\frac{1}{2}$x + $\frac{180000}{x}$ - 200≥2$\sqrt{\frac{1}{2}x·\frac{180000}{x}}$ - 200 = 400，当且仅当$\frac{1}{2}$x = $\frac{180000}{x}$，即x = 600时等号成立，
故该单位每月处理量为600吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为400元。
(2)不能获利
设该单位每月获利为S元，
则S = 100x - y = 100x - ($\frac{1}{2}$x² - 200x + 180000) = - $\frac{1}{2}$x² + 300x - 180000 = - $\frac{1}{2}$(x - 300)² - 135000，由题意得，x∈[400，600]，
所以当x = 400时，Smax = - 140000，
故该单位每月不能获利，需要国家每月至少补贴140000元才能使单位不亏损。