《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 已知$\dfrac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = 2$，计算下列各式的值：
（1）$\cos^{2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha - 1$；
（2）$\dfrac{\sin (2\pi - \alpha)\cos (\pi + \alpha)\cos \left(\alpha - \dfrac{\pi}{2}\right)\cos \left(\dfrac{11\pi}{2} - \alpha\right)}{\cos (\pi - \alpha)\sin (\alpha - 3\pi)\sin (\pi - \alpha)\sin \left(\dfrac{5\pi}{2} + \alpha\right)}$。

答案： 10.解 $\because\frac{\sin a+\cos a}{\sin a-\cos a}=2$，$\therefore\frac{\tan a + 1}{\tan a - 1}=2$，解得$\tan a=3$．
(1)原式$=\frac{\cos^{2}a-2\sin a\cos a-1}{\sin^{2}a+\cos^{2}a}=$
$\frac{-2\sin a\cos a-\sin^{2}a}{\sin^{2}a+\cos^{2}a}=$
$\frac{-2\tan a-\tan^{2}a}{\tan^{2}a + 1}=-\frac{3}{2}$．
(2)原式$=\frac{-\sin a(-\cos a)\sin a(-\sin a)}{-\cos a(-\sin a)\sin a\cos a}-\tan a=-3$．

11. (2024·江苏宿迁期末)已知角$\alpha$的顶点在坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边经过点$(m, - 4)$，其中$m ＜ 0$，若$\tan \alpha = \dfrac{4}{3}$，则$\tan \left(\alpha + \dfrac{m\pi}{2}\right) =$(D)

A.$2$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$-\dfrac{4}{3}$
D.$-\dfrac{3}{4}$

答案： 11.D 依题意，$\tan a=-\frac{4}{m}＞0$，又$\tan a=\frac{4}{3}$，从而得$m=$
$-3$，所以$\tan(a+\frac{m\pi}{2})=\tan(a-\frac{3\pi}{2})=\frac{\sin(a-\frac{3\pi}{2})}{\cos(a-\frac{3\pi}{2})}=$
$\frac{\cos a}{-\sin a}=\frac{1}{\tan a}=\frac{3}{4}$．

12. 若$\theta$为第二象限角，且$\tan (\theta - \pi) = -\dfrac{1}{2}$，则$\sqrt{\dfrac{1 + \cos \theta}{1 - \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)}} - \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{1 + \sin \left(\theta - \dfrac{3\pi}{2}\right)}}$的值是(B)

A.$4$
B.$-4$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$-\dfrac{1}{4}$

答案： 12.B 由$\tan(\theta-\pi)=\frac{1}{2}$得$\tan\theta=\frac{1}{2}$，而$\theta$为第二象限
角，则有$\sin\theta＞0$，
因此，$\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)}}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1+\sin(\theta-\frac{3\pi}{2})}}=$
$\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}·\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}=\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^{2}}{1-\cos^{2}\theta}}·\sqrt{\frac{(1-\cos\theta)^{2}}{1-\cos^{2}\theta}}=$
$\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}·\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{2\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{2}{\tan\theta}=-4$．

13. 在平面直角坐标系中，已知点$A$在单位圆上且位于第三象限，点$A$的纵坐标为$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，若点$A$沿单位圆逆时针运动到点$B$，所经过的弧长为$\dfrac{\pi}{2}$，则点$B$的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{3},-\frac{\sqrt{7}}{3})$。

答案： 13.$(\frac{\sqrt{2}}{3},-\frac{\sqrt{7}}{3})$
解析 设点A是角$a$的终边与单位圆的交点，因为点A在
单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为$-\frac{\sqrt{2}}{3}$，所以
$\sin a=-\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\cos a=-\sqrt{1-\sin^{2}a}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$，因为点A沿位
圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为$\frac{\pi}{2}$，所以$\angle AOB=$
$\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$，所以点B的横坐标为$\cos(a+\frac{\pi}{2})=-\sin a=$
$\frac{\sqrt{2}}{3}$，纵坐标为$\sin(a+\frac{\pi}{2})=\cos a=-\frac{\sqrt{7}}{3}$，即点B的坐标为
$(\frac{\sqrt{2}}{3},-\frac{\sqrt{7}}{3})$．

14. （2025·河南安阳期中）已知$\sin \alpha$，$\cos \alpha$是方程$5x^{2} - x - m = 0$的两个实数根，其中$\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。
（1）求$m$的值；
（2）求$\dfrac{1}{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)} + \dfrac{1}{\sin (\pi + \alpha)}$的值。

答案： 14.解
(1)因为$\sin a$，$\cos a$是方程$5x^{2}-x-m=0$的两个实
数根，
$\begin{cases}\Delta=1 + 20m\geq0,\\\sin a+\cos a=\frac{1}{5},\end{cases}$可得$m\geq-\frac{1}{20}$，
$\sin a\cos a=-\frac{m}{5}$，
又因为$(\sin a+\cos a)^{2}=1 + 2\sin a\cos a$，
所以$\frac{1}{25}=1-\frac{2m}{5}$，解得$m=\frac{12}{5}$，合乎题意．因此，$m=\frac{12}{5}$．
(2)由
(1)知$\sin a\cos a=-\frac{12}{25}$，$\sin a+\cos a=\frac{1}{5}$，
因为$a\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，则$\sin a＞0$，$\cos a＜0$，
所以$\sin a-\cos a＞0$，
所以$(\sin a-\cos a)^{2}=1-2\sin a\cos a=1-2×(-\frac{12}{25})=$
$\frac{49}{25}$，则$\sin a-\cos a=\frac{7}{5}$，
因此，$\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2}-a)}+\frac{1}{\sin(\pi+a)}·\frac{1}{\cos a}·\frac{1}{\sin a}=$
$\frac{\sin a-\cos a}{\sin a\cos a}=\frac{7}{5}×(-\frac{25}{12})=-\frac{35}{12}$．

15. 黑洞是一种奇怪的天体，它的体积无限小，密度无限大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为$a$，则$\sin \left(\dfrac{a\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right) =$(D)

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 15.D 根据“数字黑洞”的定义，任取数字2 023，经过一步之后
为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，$·s$
所以“数字黑洞”为123，即$a=123$，所以$\sin(\frac{a\pi}{2}+\frac{\pi}{6})=$
$\sin(\frac{123\pi}{2}+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{6})=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．