《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 不等式$ 9x^{2}+6x + 1\leqslant0 $的解集是 (D)

A.$ \{x|x\neq-\frac{1}{3}\} $
B.$ \{x|-\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant\frac{1}{3}\} $
C.$ \varnothing $
D.$ \{x|x = -\frac{1}{3}\} $

答案： 1.D 原不等式可化为$(3x + 1)^{2} \leq 0$，$\therefore 3x + 1 = 0$，$\therefore x = -\frac{1}{3}$。

2. 不等式$ 3 + 5x - 2x^{2}\leqslant0 $的解集为 (C)

A.$ \{x|x\gt3 或 x\lt-\frac{1}{2}\} $
B.$ \{x|-\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant3\} $
C.$ \{x|x\geqslant3 或 x\leqslant-\frac{1}{2}\} $
D.$ \mathbf{R} $

答案： 2.C $3 + 5x - 2x^{2} \leq 0 \Rightarrow 2x^{2} - 5x - 3 \geq 0 \Rightarrow (x - 3)(2x + 1) \geq 0$
$\Rightarrow x \geq 3$或$x \leq -\frac{1}{2}$。

3. 已知不等式$ x^{2}-7x - a\lt0 $的解集是$ \{x|2\lt x\lt b\} $，则实数$ a $等于 (A)

A.$-10$
B.$-5$
C.$5$
D.$10$

答案： 3.A 由题设知$\begin{cases}2 + b = 7,\\2b = -a.\end{cases}$可得$\begin{cases}b = 5,\\a = -10.\end{cases}$

4. (2025·福建厦门期末)“$ a = -1 $”是“函数$ y = ax^{2}+2x - 1 $只有一个零点”的 (B)

A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4.B 当$a = -1$时，函数$y = ax^{2} + 2x - 1 = -x^{2} + 2x - 1$只有一个零点1；若函数$y = ax^{2} + 2x - 1$只有一个零点，则$a = -1$或$a = 0$。所以“$a = -1$”是“函数$y = ax^{2} + 2x - 1$只有一个零点”的充分不必要条件。

5. 若$ a\lt0 $，则不等式$ a(x + 1)(x+\frac{1}{a})\lt0 $的解集是 (D)

A.$ \{x|-1\lt x\lt-\frac{1}{a}\} $
B.$ \{x|\frac{1}{a}\lt x\lt1\} $
C.$ \varnothing $
D.$ \{x|x\lt - 1 或 x\gt-\frac{1}{a}\} $

答案： 5.D 因为$a ＜ 0$，所以原不等式可化为$(x + 1)(x + \frac{1}{a}) ＞ 0$，
又方程$(x + 1)(x + \frac{1}{a}) = 0$的两根为$x = -1$和$x = -\frac{1}{a}$，$-\frac{1}{a} ＞ -1$，所以解不等式$(x + 1)(x + \frac{1}{a}) ＞ 0$可得$x ＞ -\frac{1}{a}$或$x ＜ -1$。

6. (多选)若函数$ y = x^{2}+bx + c $的图象与$ x $轴的两个交点是$ A(-2,0) $，$ B(1,0) $，则下列结论正确的是 (ABD)

A.$ b + c = -1 $
B.方程$ x^{2}+bx + c = 0 $的两根是$-2$，$1$
C.不等式$ x^{2}+bx + c\gt0 $的解集是$ \{x|-2\lt x\lt1\} $
D.不等式$ x^{2}+bx + c\leqslant0 $的解集是$ \{x|-2\leqslant x\leqslant1\} $

答案： 6.ABD 由题意知方程$x^{2} + bx + c = 0$的两根是$-2,1$，所以$-b = -2 + 1 = -1$，即$b = 1$，$c = (-2) × 1 = -2$，所以$b + c = -1$。不等式$x^{2} + bx + c ＞ 0$的解集是$\{x|x ＜ -2$或$x ＞ 1\}$，不等式$x^{2} + bx + c \leq 0$的解集是$\{x|-2 \leq x \leq 1\}$，所以选项A、B、D正确。

7. 若$ 0\lt m\lt1 $，则不等式$ (x - m)(x-\frac{1}{m})\lt0 $的解集为$\{x|m ＜ x ＜ \frac{1}{m}\}$。

答案： 7.$\{x|m ＜ x ＜ \frac{1}{m}\}$
解析 $\because 0 ＜ m ＜ 1$，$\therefore \frac{1}{m} ＞ 1 ＞ m$，故原不等式的解集为$\{x|m ＜ x ＜ \frac{1}{m}\}$

8. 已知不等式$ ax^{2}+bx - 1\gt0 $的解集为$ \{x|3\lt x\lt4\} $，则实数$ a = $$-\frac{1}{12}$$$，$ b = $$\frac{7}{12}$$$。

答案： 8.$-\frac{1}{12}$ $\frac{7}{12}$
解析 依题意，$x = 3$与$x = 4$是方程$ax^{2} + bx - 1 = 0$的两个实根且$a ＜ 0$。
则$\begin{cases}3 + 4 = -\frac{b}{a},\\3 × 4 = -\frac{1}{a}.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{12},\\b = \frac{7}{12}.\end{cases}$

9. 解下列不等式：
(1) $ 4(2x^{2}-2x + 1)\gt x(4 - x) $；
(2) $ 0\leqslant x^{2}-2x - 3\lt5 $。

答案： 9.解
(1)由原不等式得$8x^{2} - 8x + 4 ＞ 4x - x^{2}$。
$\therefore$原不等式等价于$9x^{2} - 12x + 4 ＞ 0$。
解方程$9x^{2} - 12x + 4 = 0$，得$x_{1} = x_{2} = \frac{2}{3}$。
结合二次函数$y = 9x^{2} - 12x + 4$的图象知，原不等式的解集为$\{x|x \neq \frac{2}{3}\}$。
(2)由$x^{2} - 2x - 3 \geq 0$得$x \leq -1$或$x \geq 3$；
由$x^{2} - 2x - 3 ＜ 5$得$-2 ＜ x ＜ 4$。
$\therefore$原不等式的解集为$\{x|-2 ＜ x \leq -1$或$3 \leq x ＜ 4\}$。