《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. (2024·福建厦门科技中学期中)已知函数$ f(x) = \frac{ax + b}{x^2 + 1} $，若不等式$ f(x) ＞ \frac{2}{5} $的解集为$ \left( \frac{1}{2}, 2 \right) $，求实数$ a $，$ b $的值及$ f(x) $的值域。

答案： 10.解 由$f(x)=\frac{ax + b}{x^{2}+1}＞\frac{2}{5}$，得$5(ax + b)＞2(x^{2}+1)$，整理得$2x^{2}-5ax - 5b + 2＜0$.
因为$f(x)＞\frac{2}{5}$的解集为$(\frac{1}{2},2)$，所以方程$2x^{2}-5ax - 5b + 2 = 0$的解为$\frac{1}{2},2$，
则$\begin{cases}\frac{1}{2}-\frac{5}{2}a - 5b + 2 = 0,\\8 - 10a - 5b + 2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 0,\end{cases}$所以$f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$.
令$y=\frac{x}{x^{2}+1}$，当$y\neq0$，即$x\neq0$时，由$y=\frac{x}{x^{2}+1}$，得$yx^{2}-x + y = 0$，则$\Delta=1 - 4y^{2}\geq0$，得$-\frac{1}{2}\leq y\lt0$或$0\lt y\leq\frac{1}{2}$；
当$x = 0$时，$y = 0$.
综上，$f(x)$的值域为$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.

11. 已知函数$ f\left( \frac{3x + 1}{x} \right) = \frac{2x}{1 - x^2} + 2 $，则$ f\left( \frac{7}{2} \right) = $(D)

A.$ \frac{5}{3} $
B.$ \frac{7}{4} $
C.$ 3 $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： 11.D 令$\frac{3x + 1}{x}=\frac{7}{2}$，得$x = 2$，故$f(\frac{7}{2})=f(\frac{3×2 + 1}{2})=\frac{2×2}{1 - 2^{2}}+2=\frac{2}{3}$，故选D.

12. 已知函数$ f(x) $满足$ f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy - 1 $，则$ f(4) - 4f(1) = $(A)

A.$ 9 $
B.$ 10 $
C.$ 11 $
D.$ 12 $

答案： 12.A 令$x = y = 1$，得$f(2)=2f(1)+1$；
令$x = 1,y = 2$，得$f(3)=f(1)+f(2)+3$；
令$x = 1,y = 3$，得$f(4)=f(1)+f(3)+5$.
由以上三式得$f(4)=4f(1)+9$，即$f(4)-4f(1)=9$.

13. 已知函数$ f(x) = \sqrt{mx^2 + (m - 3)x + 1} $的值域是$ [0, +\infty) $，则实数$ m $的取值范围是$[0,1]\cup[9,+\infty)$.

答案： $13.[0,1]\cup[9,+\infty)$
解析 当m = 0时，$f(x)=\sqrt{-3x + 1}$的值域为$[0,+\infty)，$满足题意；当$m\neq0$时，函数$y = mx^{2}+(m - 3)x + 1$是二次函数，为使f(x)的值域是$[0,+\infty)，$则有$\begin{cases}m＞0,\m - 3)^{2}-4m\geq0,\end{cases}$得$0\lt m\leq1$或$m\geq9.$综上$m\in[0,1]\cup[9,+\infty).$

14. 已知函数$ f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2} $。
(1) 求$ f(2) $与$ f\left( \frac{1}{2} \right) $，$ f(3) $与$ f\left( \frac{1}{3} \right) $的值；
(2) 由(1)中求得的结果，你能发现$ f(x) $与$ f\left( \frac{1}{x} \right) $有什么关系吗？证明你的发现；
(3) 求$ f(1) + f(2) + f(3) + ·s + f(2024) + f\left( \frac{1}{2} \right) + f\left( \frac{1}{3} \right) + ·s + f\left( \frac{1}{2024} \right) $的值。

答案： 14.解
(1)$f(2)=\frac{2^{2}}{1+2^{2}}=\frac{4}{5}$，$f(\frac{1}{2})=\frac{(\frac{1}{2})^{2}}{1+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{5}$；
$f(3)=\frac{3^{2}}{1+3^{2}}=\frac{9}{10}$，$f(\frac{1}{3})=\frac{(\frac{1}{3})^{2}}{1+(\frac{1}{3})^{2}}=\frac{1}{10}$.
(2)由
(1)中求得的结果，发现$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$.
证明：$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{(\frac{1}{x})^{2}}{1+(\frac{1}{x})^{2}}=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}=1$.
(3)因为$f(1)=\frac{1}{2}$，
所以$f(1)+f(2)+f(3)+·s+f(2024)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+·s+f(\frac{1}{2024})=f(1)+f(2)+f(\frac{1}{2})+f(3)+f(\frac{1}{3})+·s+f(2024)+f(\frac{1}{2024})=\frac{1}{2}+2023=\frac{4047}{2}$.

15. (开放题)能说明命题“如果函数$ f(x) $与$ g(x) $的对应关系和值域都相同，那么函数$ f(x) $和$ g(x) $是同一函数”为假命题的一组函数可以是$f(x)=x^{2},x\in(-1,1),g(x)=x^{2},x\in[0,1)$(答案不唯一).

答案： 15.$f(x)=x^{2},x\in(-1,1),g(x)=x^{2},x\in[0,1)$(答案不唯一)
解析 可取$f(x)=x^{2},x\in(-1,1),g(x)=x^{2},x\in[0,1)$，函数的对应关系相同，值域都为$[0,1)$，但函数定义域不同，是不同的函数，故命题为假命题.