《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 (D)

A.$ 5\ m^2 $
B.$ 10\ m^2 $
C.$ 20\ m^2 $
D.$ 25\ m^2 $

答案： 1.D 设矩形的一边为$x m$,$0＜x＜10$，则相邻一边为$\frac{1}{2} × (20-2x)=(10-x)m$，设场地面积为$y m^2$，$\therefore y=x(10-x)\leq \left[ \frac{x+(10-x)}{2} \right]^2 =25$，当且仅当$x=10-x$，即$x=5$时等号成立，故$y_{\max}=25$。

2. 某企业 2 月份的产量与 1 月份相比增长率为$ p $，3 月份的产量与 2 月份相比增长率为$ q $($ p＞0,q＞0 $)，若该企业这两个月产量的平均增长率为$ x $，则下列关系中正确的是 (B)

A.$ x\geqslant \dfrac{p+q}{2} $
B.$ x\leqslant \dfrac{p+q}{2} $
C.$ x＞\dfrac{p+q}{2} $
D.$ x＜\dfrac{p+q}{2} $

答案： 2.B 由题意可得$(1+p)(1+q)=(1+x)^2$，$\therefore (1+x)^2=1+(p+q)+pq\leq 1+(p+q)+\left( \frac{p+q}{2} \right)^2 =\left( \frac{p+q}{2} +1\right)^2$，$\therefore x\leq \frac{p+q}{2}$，当且仅当$p = q$时取等号。

3. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 900 元，若每批生产$ x $件，则平均仓储时间为$ \dfrac{x}{4} $天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 (B)

A.30 件
B.60 件
C.80 件
D.100 件

答案： 3.B 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为$y$元，则$y=\frac{\frac{x}{4} × x × 1+900}{x} =\frac{x}{4} +\frac{900}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{4} · \frac{900}{x}} =30$，当且仅当$\frac{x}{4} =\frac{900}{x}$，即$x = 60$时等号成立，故每批应生产产品$60$件.故选B.

4. 现设计一个两邻边的长度分别为$ a,b $的矩形广告牌，其面积为$ S $，且$ S = a - b + 5 $，则当该广告牌的周长最小时，$ S = $ (A)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 4.A 由题意知$a＞0$，$b＞0$，且$ab=a - b+5$，所以$b=\frac{a+5}{a+1}$，则该矩形的周长为$l=2(a+b)=2\left( a+\frac{a+5}{a+1}\right)=2\left( a+1+\frac{4}{a+1}\right)\geq 2× 2\sqrt{(a+1)· \frac{4}{a+1}} =8$，当且仅当$a+1=\frac{4}{a+1}$，即$a=1$，$b=3$时，取得等号，此时$S=ab=3$。

5. (2025·湖南益阳期中)要制作一个容积为$ 8\ m^3 $，高为 2 m 的无盖长方体容器。已知该容器的底面造价是 40 元$ /m^2 $，侧面造价是 20 元$ /m^2 $，则该容器的最低总造价为 (C)

A.360 元
B.420 元
C.480 元
D.600 元

答案： 5.C 设容器底面长与宽分别为$x m$和$y m$，依题意知，$2xy=8$，即$xy=4$，于是得该容器总造价为$40× 4+20× 4(x+y)=160+80(x+y)\geq 160+80× 2\sqrt{xy}=480$，当且仅当$x=y=2$时取等号，所以该容器的最低总造价为$480$元.

6. (多选)已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润$ y $(万元)与运营年数$ x $的关系为$ y = -x^2 + 12x - 25 $，则下列判断正确的是 (BC)

A.车辆运营年数越多，利润越高
B.车辆在第 6 年时，总利润最高
C.车辆在前 5 年的平均利润最高
D.车辆每年都能盈利

答案： 6.BC $y=-x^2+12x-25$的图象是开口向下的，故A错误；图象的对称轴为直线$x=6$，故B正确；$\frac{y}{x} =-x+12-\frac{25}{x} =-\left( x+\frac{25}{x} \right)+12\leq -2\sqrt{25}+12=2$，当且仅当$x=5$时，等号成立，故C正确；当$x=1$时，$y=-14$，故D错误.

7. 三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，则该图对“$ a^2 + b^2 \geqslant 2ab $”的几何解释为大正方形的面积不小于四个全等直角三角形的面积和，当且仅当$a = b$时等号

答案： 7.大正方形的面积不小于四个全等直角三角形的面积和，当且仅当$a = b$时等号成立
解析 由题图可知，四个直角三角形全等，且它们的直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$\sqrt{a^2+b^2}$，正方形$ABCD$的边长即为$\sqrt{a^2+b^2}$，所以$S_{正方形ABCD}=a^2+b^2$，而四个全等直角三角形的面积和为$4S=4× \frac{1}{2} ab=2ab$，所以$“a^2+b^2\geq 2ab”$的几何解释为大正方形的面积不小于四个全等直角三角形的面积和，当且仅当$a = b$时等号成立.

8. 为给教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度$ C $(单位：mg/L)随时间$ t $(单位：min)的变化关系为$ C = \dfrac{20t}{t^2 + 25} $，则经过5 min 后室内消毒液浓度达到最大。

答案： 8.5
解析 由题意可得$t＞0$，$C=\frac{20t}{t^2+25} +\frac{20}{t+\frac{25}{t}} \leq \frac{20t}{2\sqrt{t^2× 25}} +\frac{20}{2\sqrt{t× \frac{25}{t}}} =2$，当且仅当$t=\frac{25}{t}$，即$t=5$时取等号.

9. 某学校为了支持生物选修课程开展，计划利用学校面积为$ 900\ m^2 $的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留 1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右边沿保留 3 m 宽的通道，如图。设矩形空地长为$ x $ m，三块种植植物的矩形区域（如图中阴影部分所示）的总面积为$ S\ m^2 $。
（1）求$ S $关于$ x $的关系式；
（2）求$ S $的最大值及此时$ x $的值。

答案： 9.解
(1)由题知，空地宽为$\frac{900}{x} m$，
则$S=(x - 8)× \left( \frac{900}{x} -2\right)=916 - 2x - \frac{7200}{x}(8＜x＜450)$.
(2)由
(1)知，$S=916 - 2x - \frac{7200}{x}(8＜x＜450)$，
因为$2x+\frac{7200}{x} \geq 2\sqrt{2x· \frac{7200}{x}} =240$，
当且仅当$2x=\frac{7200}{x}$，即$x=60$时，等号成立，
故$S\leq 676$，
故$S$的最大值为$676$，此时$x$的值为$60$.