《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. (多选)下列函数为对数函数的是 (AC)

A.$ f(x)=\log_{(m - 1)}x(m\gt1, 且 m\neq2) $
B.$ f(x)=\lg x^{3} $
C.$ f(x)=\ln x $
D.$ f(x)=\ln x + e $

答案： 1.AC 形如$y=\log_a x(a＞0$，且$a\neq1)$的函数为对数函数.
对于A，由$m＞1$，且$m\neq2$，可知$m - 1＞0$，且$m - 1\neq1$，故A符合题意；对于B、C、D，显然B、D不符合题意，C符合题意.
故选AC.

2. 函数$ f(x)=\log_{(x - 1)}(3 + 2x - x^{2}) $的定义域是 (C)

A.$ (1,2) $
B.$ (2,3) $
C.$ (1,2)\cup(2,3) $
D.$ (1,3) $

答案： 2.C 依题意$\begin{cases}3 + 2x - x^2＞0\\x - 1\neq0\end{cases}$，解得$1＜x＜3$且$x\neq2$.故$f(x)$的定义域为$(1,2)\cup(2,3)$.

3. 设函数$ f(x)=\begin{cases}1 + \log_{2}(2 - x),x\lt1,\\2^{x - 1},x\geq1,\end{cases}$则$ f(f(-2)) = $ ( )

A.3
B.4
C.6
D.8

答案： 3.B $\because f( - 2)=1+\log_24 = 3$，$\therefore f(f( - 2))=f(3)=2^2 = 4$.

4. 下列四组函数中，表示同一个函数的是(D)

A.$ f(x)=\sqrt{-2x^{3}} $与$ g(x)=\sqrt{-2x} $
B.$ f(x)=x $与$ g(x)=\frac{x^{2}}{x} $
C.$ f(x)=\lg x^{2} $与$ g(x)=2\lg x $
D.$ f(x)=x^{0} $与$ g(x)=\frac{1}{x^{0}} $

答案： 4.D 函数$f(x)=\sqrt{-2x^3}$与$g(x)=\sqrt{-2x}$的对应关系不同，A选项中的两个函数不表示同一个函数；函数$f(x)=x$的定义域为$\mathbf{R}$，函数$g(x)=\frac{x^2}{x}$的定义域为$\{x\mid x\neq0\}$，B选项中的两个函数不表示同一个函数；对于函数$f(x)=\lg x^2$，由$x^2＞0$，可得$x\neq0$，函数$f(x)$的定义域为$\{x\mid x\neq0\}$，函数$g(x)=2\lg x$的定义域为$\{x\mid x＞0\}$，C选项中的两个函数不表示同一个函数；函数$f(x)=x^0$与$g(x)=\frac{1}{x^0}$的定义域为$\{x\mid x\neq0\}$，且$f(x)=1$，$g(x)=1$，D选项中的两个函数表示同一个函数.

5. (多选)已知$ y = f(x) $是对数函数，且$ f(4)=2 $，则下列结论正确的是 (AC)

A.$ f(x)=\log_{2}x $
B.$ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x $
C.$ f(2^{\lg 2})=\lg 2 $
D.$ f(\frac{1}{2}) = 1 $

答案： 5.AC 设$f(x)=\log_a x(a＞0$，且$a\neq1)$，由题可得，$2=\log_a4$，解得$a = 2$，所以$f(x)=\log_2x$，因此$f(\frac{1}{2})=\log_2\frac{1}{2}=-1$，$f(2^{\lg^2})=\log_22^{\lg^2}=\lg2$.

6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录法记录测试的视力数据，五分记录法的数据$ L $和小数记录法的数据$ V $满足$ L = 5 + \lg V $。已知某同学视力的小数记录法的数据为$ 0.8 $，则其视力的五分记录法的数据约为($ \lg 2\approx0.3 $) (D)

A.4.6
B.4.7
C.4.8
D.4.9

答案： 6.D 由题意得$L = 5+\lg V$，当$V = 0.8$时，$L = 5+\lg0.8=5+\lg\frac{8}{10}=5 + 3\lg2 - 1\approx4+3×0.3=4.9$.故选D.

7. 函数$ f(x)=\log_{a}x + a^{2} - 2a - 3 $为对数函数，则$ a = $3，$ f(\sqrt{3}) = $$\frac{1}{2}$。

答案： 7.3$\frac{1}{2}$
解析 依题意有$\begin{cases}a^2 - 2a - 3=0\\a\neq1\end{cases}$，解得$a = 3.\therefore f(x)=\log_3x$，故$f(\sqrt{3})=\log_3\sqrt{3}=\frac{1}{2}$.

8. (2025·江苏宿迁期中)某种动物的数量$ y $(单位：只)与时间$ x $(单位：年)的函数关系式为$ y = a\log_{2}(x + 1) $，若这种动物第$ 1 $年有$ 100 $只，则第$ 7 $年它们的数量为300 只。

答案： 8.300
解析 由题意，知$100=a\log_2(1 + 1)$，得$a = 100$，故$y = 100\log_2(x + 1)$，则当$x = 7$时，$y = 100\log_2(7 + 1)=100×3 = 300$.

9. 已知函数$ y = \log_{a}(x + a)(a\gt0, 且 a\neq1) $是对数函数，且当$ x = -1 $时，$ y = 0 $。
(1) 求$ a $的值；
(2) 求函数的定义域。

答案： 9.解
(1)由题可得$0=\log_a(-1 + a)$，则$-1 + a = 1$，所以$a = 2$.
(2)由
(1)知$y=\log_2(x + 2)$，由$x + 2＞0$，解得$x＞-2$，所以函数的定义域为$\{x\mid x＞-2\}$.