《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 若$2^{x + 1} \lt 1$，则$x$的取值范围是 (D)

A.$(-1,1)$
B.$(-1,+\infty)$
C.$(0,1)\cup(1,+\infty)$
D.$(-\infty,-1)$

答案： 1.D $\because 2^{x+1}＜1=2^{0}$,且$y=2^{x}$是增函数，$\therefore x+1＜0$,
$\therefore x＜-1$.故选D.

2. 若$f(x)=2^{\vert x\vert}$，$x\in\mathbf{R}$，那么$f(x)$是 (B)

A.奇函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增
B.偶函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增
C.奇函数，且在$(0,+\infty)$上单调递减
D.偶函数，且在$(0,+\infty)$上单调递减

答案： 2.B 由$x\in \mathbf{R}$且$f(-x)=f(x)$知$f(x)$是偶函数，当$x＞0$时，$f(x)=2^{|x|}$单调递增.

3. (2024·山东潍坊期末)函数$f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+2$，$x\in[-1,2]$的最大值为 (A)

A.$4$
B.$3$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$\dfrac{9}{4}$

答案： 3.A $\because$函数$f(x)=(\frac{1}{2})^{x}+2$在$[-1,2]$上单调递减，
$\therefore$当$x=-1$时，函数$f(x)=(\frac{1}{2})^{x}+2,x\in[-1,2]$取得最大值，最大值为$2+2=4$.

4. (2025·安徽黄山期中)设集合$M=\{x\in\mathbf{Z}\mid100\lt 2^{x}\lt 1\ 000\}$，则$M$中的元素个数为 (A)

A.$3$
B.$4$
C.$9$
D.无穷多个

答案： 4.A 由函数$y=2^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，及$2^{6}=64$，$2^{7}=128$，$2^{8}=256$，$2^{9}=512$，$2^{10}=1024$，可得$M=\{7,8,9\}$，则其元素个数为3，故选A.

5. 已知函数$f(x)=\begin{cases}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-7,x\lt 0,\\\sqrt{x},x\geqslant 0,\end{cases}$若$f(a)\lt 1$，则实数$a$的取值范围是 ( )

A.$(-\infty,-3)$
B.$(1,+\infty)$
C.$(-3,1)$
D.$(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$

答案： 5.C 由题意，知f(a)＜1等价于$\begin{cases}a＜0,\frac{1}{2})^{a}-7＜1\end{cases}$或$\begin{cases}a\geq0,\\\sqrt{a}＜1\end{cases}，$解得-3＜a＜0或$0\leq a＜1，$所以-3＜a＜1.故选C.

6. (多选)已知函数$f(x)=a+\dfrac{3}{2^{x}-1}$为奇函数，则下列结论正确的是 (AC)

A.$f(x)$的定义域为$\{x\mid x\neq 0\}$
B.$a = 2$
C.$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$
D.$f(x)$的值域为$(2,+\infty)$

答案： 6.AC 由题知$2^{x}-1\neq0$，即$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，A正确；因为函数$f(x)$为奇函数，所以$f(-1)=-f(1)$，即$a+\frac{3}{2^{-1}-1}=- (a+\frac{3}{2^{1}-1})$，解得$a=\frac{3}{2}$，经检验$a=\frac{3}{2}$符合题意，B错误；当$x＞0$时，$y=2^{x}-1$单调递增，则$f(x)=\frac{3}{2^{x}-1}$单调递减，又函数$f(x)$为奇函数，所以$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$，C正确；当$x=-1$时，$f(-1)=-\frac{9}{2}$，D错误.

7. 填空(“$\lt$”或“$\gt$”).
(1)$\left(\dfrac{5}{6}\right)^{-0.24}$ $$＜$$ $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{4}}$；
(2)$(0.8)^{-2}$ $$＞$$ $\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$.

答案： 7.
(1)$＜$
(2)$＞$
解析
(1)$\because0＜\frac{5}{6}＜1$，$\therefore$函数$y=(\frac{5}{6})^{x}$在$(-\infty,+\infty)$上是减函数.又$-0.24＞-\frac{1}{4}$，
$\therefore(\frac{5}{6})^{-0.24}＜(\frac{5}{6})^{-\frac{1}{4}}$.
(2)$(0.8)^{-2}=(\frac{4}{5})^{-2}=(\frac{5}{4})^{2}$. $\because$函数$y=(\frac{5}{4})^{x}$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数，$\therefore(\frac{5}{4})^{2}＞(\frac{5}{4})^{-\frac{1}{2}}$，
即$(0.8)^{-2}＞(\frac{5}{4})^{-\frac{1}{2}}$.

8. 函数$y=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+1$的值域为$$(1,+\infty)$$.

答案： 8.$(1,+\infty)$
解析 令$t=(\frac{1}{2})^{x}$，则$t＞0$，原函数转化为$f(t)=t^{2}+t+1=(t+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$，$t＞0$，因为函数$f(t)=(t+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$在$(0,+\infty)$上为增函数，所以$f(t)＞1$，即原函数的值域为$(1,+\infty)$.

9. 已知函数$f(x)=1-\dfrac{2}{5^{x}+1}$.
(1)证明：函数$f(x)$是$(-\infty,+\infty)$上的增函数；
(2)当$x\in[-1,2]$时，求函数$f(x)$的值域.

答案： 9.解
(1)证明：设$\forall x_{1},x_{2}\in(-\infty,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，则
$f(x_{1})-f(x_{2})=1-\frac{2}{5^{x_{1}}+1}-(1-\frac{2}{5^{x_{2}}+1})$
$=\frac{2(5^{x_{1}}-5^{x_{2}})}{(5^{x_{2}}+1)(5^{x_{1}}+1)}$
由$x_{1}＜x_{2}$得$(5^{x_{2}+1})(5^{x_{1}}+1)＞0$，$5^{x_{1}}-5^{x_{2}}＜0$，即$f(x_{1})-f(x_{2})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$.
$\therefore$函数$f(x)$是$(-\infty,+\infty)$上的增函数.
(2)由
(1)知，当$x\in[-1,2]$时，$f(-1)\leq f(x)\leq f(2)$，$f(-1)=1-\frac{2}{5^{-1}+1}=\frac{2}{3}$，$f(2)=1-\frac{2}{5^{2}+1}=\frac{12}{13}$，
$\therefore f(x)$的值域为$[\frac{2}{3},\frac{12}{13}]$.