《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 阅读材料：
（1）若$x \gt y \gt 0$，且$m \gt 0$，则有$\frac{y}{x} \lt \frac{y + m}{x + m}$；
（2）若$a \lt b$，$c \lt d$，则有$a + c \lt b + d$。
请依据以上材料解答问题：
已知$a$，$b$，$c$是三角形的三边，求证：$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \lt 2$。

答案： 10.证明 因为$a$，$b$，$c$是三角形的三边，所以$b+c＞a＞0$，由材料
(1)知$\frac{a}{b+c}＜\frac{a+a}{b+c+a}=\frac{2a}{a+b+c}$，
同理$\frac{b}{a+c}＜\frac{2b}{a+b+c}$，$\frac{c}{a+b}＜\frac{2c}{a+b+c}$，由材料
(2)得$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$，所以原不等式成立.

11. 已知$x \gt y \gt z$，$x + y + z = 0$，则下列不等式中一定成立的是 (C)

A.$xy \gt yz$
B.$xz \gt yz$
C.$xy \gt xz$
D.$x|y| \gt z|y|$

答案： 11.C 因为$x＞y＞z$，$x+y+z=0$，所以$3x＞x+y+z=0$，$3z＜x+y+z=0$，所以$x＞0$，$z＜0$，所以由$\begin{cases}x＞0,\\y＞z,\end{cases}$得$xy＞xz$.

12. 有外表相同，重量不同的四个小球，它们的重量分别是$a$，$b$，$c$，$d$，已知$a + b = c + d$，$a + d \gt b + c$，$a + c \lt b$，则这四个小球由重到轻的排列顺序是 (A)

A.$d \gt b \gt a \gt c$
B.$b \gt c \gt d \gt a$
C.$d \gt b \gt c \gt a$
D.$c \gt a \gt d \gt b$

答案： 12.A $\because a+b=c+d$，$a+d＞b+c$，$\therefore a+d+(a+b)＞c+(c+d)$，即$a＞c$，$\therefore b＜d$.又$a+c＜b$，$\therefore a＜b$.
综上可得，$d＞b＞a＞c$.

13. 设实数$x$，$y$满足$0 \lt xy \lt 1$，且$0 \lt x + y \lt 1 + xy$，则$x$，$y$的取值分别满足 (C)

A.$x \gt 1$，$y \gt 1$
B.$0 \lt x \lt 1$，$y \gt 1$
C.$0 \lt x \lt 1$，$0 \lt y \lt 1$
D.$x \gt 1$，$0 \lt y \lt 1$

答案： 13.C $\because x+y＜1+xy$，$\therefore x-xy+y-1＜0$，$\therefore x(1-y)+y-1＜0$，即$(x-1)(1-y)＜0$，$\therefore (x-1)(y-1)＞0$，$\therefore x＞1$，$y＞1$或$x＜1$，$y＜1$.又$\because 0＜xy＜1$，$x+y＞0$，$\therefore 0＜x＜1$，$0＜y＜1$.故选C.

14. 给出下列三个论断：①$a \gt b \gt c$；②$ab \gt bc$；③$b \gt 0$且$c \lt 0$。以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若$a＞b＞c$，$b＞0$且$c＜0$，则$ab＞bc$；若选择①②作为条件，③作为结论：若$a＞b＞c$，$ab＞bc$，则$(a-c)b＞0$，故$b＞0$，但$c$也可能大于0，不正确；若选择②③作为条件，①作为结论：若$ab＞bc$，$b＞0$且$c＜0$，则$(a-c)b＞0$，故$a＞c$，但$a$与$b$的大小关系不确定，不正确.。

答案： 14.若$a＞b＞c$，$b＞0$且$c＜0$，则$ab＞bc$；若选择①②作为条件，③作为结论：若$a＞b＞c$，$ab＞bc$，则$(a-c)b＞0$，故$b＞0$，但$c$也可能大于0，不正确；若选择②③作为条件，①作为结论：若$ab＞bc$，$b＞0$且$c＜0$，则$(a-c)b＞0$，故$a＞c$，但$a$与$b$的大小关系不确定，不正确.

15. （2025·上海长宁期中）甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在$A$，$B$，$C$，$D$四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜。甲先取两个容器，余下的两个容器给乙。已知$A$，$B$的底面积均为$x^2$，高分别为$x$，$y$；$C$，$D$的底面积均为$y^2$，高分别为$x$，$y$（其中$x \neq y$）。在未能确定$x$与$y$大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由。

答案： 15.解 甲选AD.理由如下：
设A，B，C，D的容积分别为$V_A$，$V_B$，$V_C$，$V_D$，则$V_A=x^{3}$，$V_B=x^{2}y$，$V_C=xy^{2}$，$V_D=y^{3}$，
甲从A，B，C，D中任选2个，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种可能，
当$x＞y$时，$x^{3}＞x^{2}y＞xy^{2}＞y^{3}$，
即$V_A＞V_B＞V_C＞V_D$，
则$V_A+V_B＞V_C+V_D$，$V_A+V_C＞V_B+V_D$；
当$x＜y$时，$y^{3}＞y^{2}x＞yx^{2}＞x^{3}$，即$V_D＞V_C＞V_B＞V_A$，
则$V_C+V_D＞V_A+V_B$，$V_D+V_B＞V_C+V_A$.
故取AB，AC，BD，CD均不能必胜.
若甲先取AD，则$(V_A+V_D)-(V_B+V_C)=x^{3}+y^{3}-(xy^{2}+x^{2}y)=(x-y)^{2}(x+y)＞0$，
即$V_A+V_D＞V_B+V_C$，即甲先取AD能够必胜.
综上所述，甲必胜的方案：甲选AD.