《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 已知集合$ A = \{ x | 0 \leq x \leq 1 \} $，$ B = \{ x | 0 \leq x \leq a \} $。
(1) 若$ B = \varnothing $，求$ a $的取值范围；
(2) 若$ B \subseteq A $，求$ a $的取值范围。

答案： 10.解
(1)因为$B = \{x|0 \leq x \leq a\} = \varnothing$，所以$B = \{x|0 \leq x \leq a\}$中没有元素，即$a ＜ 0$，所以$a$的取值范围为$a ＜ 0$.
(2)由
(1)知，当$B = \varnothing$时，$a ＜ 0$，此时满足$B \subseteq A$；
当$B \neq \varnothing$时，由$B \subseteq A$，得$0 \leq a \leq 1$. 综上，$a$的取值范围为$a \leq 1$.

11. 若$ A = \left\{ x \mid x = \frac{k}{6} + 1, k \in \mathbf{Z} \right\} $，$ B = \left\{ x \mid x = \frac{k}{3} + \frac{1}{2}, k \in \mathbf{Z} \right\} $，$ C = \left\{ x \mid x = \frac{2k}{3} + \frac{1}{2}, k \in \mathbf{Z} \right\} $，则这三个集合间的关系是(C)

A.$ A \subseteq B \subseteq C $
B.$ A \subseteq C \subseteq B $
C.$ C \subseteq B \subseteq A $
D.$ C \subseteq A \subseteq B $

答案： 11.C 依题意，$A = \left\{ x\left| x = \frac{k + 6}{6} \right.,k \in Z \right\} = \left\{ x\left| x = \frac{(k + 3) + 3}{6} \right.,k \in Z \right\}$，$B = \left\{ x\left| x = \frac{2k + 3}{6} \right.,k \in Z \right\}$，$C = \left\{ x\left| x = \frac{4k + 3}{6} \right.,k \in Z \right\} = \left\{ x\left| x = \frac{2 × 2k + 3}{6} \right.,k \in Z \right\}$，而$\{x|x = k + 3,k \in Z\} = Z$，$\{x|x$是偶数$\} = \{x|x = 2k,k \in Z\}$，因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有$C \subseteq B$，集合B中的任意元素都是集合A中的元素，即$B \subseteq A$，所以$C \subseteq B \subseteq A$.

12. (多选)下列说法正确的是(BC)

A.任何集合都是它自身的真子集
B.集合$ \{ a, b \} $共有 4 个子集
C.集合$ \{ x | x = 3n + 1, n \in \mathbf{Z} \} = \{ x | x = 3n - 2, n \in \mathbf{Z} \} $
D.集合$ \{ x | x = 1 + a^2, a \in \mathbf{N}^* \} = \{ x | x = a^2 - 4a + 5, a \in \mathbf{N}^* \} $

答案： 12.BC 对于A，真子集不包括集合自身，故A错误；对于B，因为集合$\{ a,b\}$中有2个元素，所以有$2^{2} = 4$个子集，故B正确；对于C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；对于D，因为$x = a^{2} - 4a + 5 = (a - 2)^{2} + 1$，当$a = 2$时，$x = 1$，所以$1 \in \{x|x = a^{2} - 4a + 5,a \in N^{*}\}$，但$1 \notin \{x|x = 1 + a^{2},a \in N^{*}\}$，故两个集合不相等，故D错误.

13. 已知集合$ A = \{ x \in \mathbf{R} | ax^2 + 2(a + 1)x + a = 0 \} $没有非空真子集，则实数$ a $的取值组成的集合为$\{ a|a = 0$或$a \leq - \frac{1}{2}\}$。

答案： 13.$\{ a|a = 0$或$a \leq - \frac{1}{2}\}$
解析 因为集合$A = \{x \in R|ax^{2} + 2(a + 1)x + a = 0\}$没有非空真子集，所以集合A中元素的个数为1或0，当集合A中元素的个数为1时，若$a = 0$，则$2x = 0$，解得$x = 0$，符合题意，若$a \neq 0$，则$\Delta = 4(a + 1)^{2} - 4a^{2} = 0$，解得$a = - \frac{1}{2}$；当集合A中元素的个数为0时，则$\begin{cases} \Delta = 4(a + 1)^{2} - 4a^{2} ＜ 0, \\ a \neq 0, \end{cases}$解得$a ＜ - \frac{1}{2}$.
综上$a = 0$或$a \leq - \frac{1}{2}$，即实数$a$的取值组成的集合为$\{ a|a = 0$或$a \leq - \frac{1}{2}\}$.

14. 设集合$ A = \{ x | -2 \leq x \leq 5 \} $，$ B = \{ x | m + 1 \leq x \leq 2m - 1 \} $。
(1) 若$ B \subseteq A $，求实数$ m $的取值范围；
(2) 当集合$ A $中的$ x \in \mathbf{Z} $时，求集合$ A $的非空真子集的个数；
(3) 若$ B \neq \varnothing $，且不存在元素$ x $，使得$ x \in A $与$ x \in B $同时成立，求实数$ m $的取值范围。

答案： 14.解
(1)当$m + 1 ＞ 2m - 1$，即$m ＜ 2$时，$B = \varnothing$，满足$B \subseteq A$.
当$m + 1 \leq 2m - 1$，即$m \geq 2$时，要使$B \subseteq A$，只需$\begin{cases} m + 1 \geq - 2, \\ 2m - 1 \leq 5, \end{cases}$即$2 \leq m \leq 3$.
综上，实数$m$的取值范围是$\{m|m \leq 3\}$.
(2)当$x \in Z$时，$A = \{ - 2, - 1,0,1,2,3,4,5\}$，共8个元素，所以集合A的非空真子集的个数为$2^{8} - 2 = 254$.
(3)由$B \neq \varnothing$，得$m + 1 \leq 2m - 1$，即$m \geq 2$.
又不存在元素$x$，使得$x \in A$与$x \in B$同时成立，所以$m + 1 ＞ 5$或$2m - 1 ＜ - 2$，即$m ＞ 4$或$m ＜ - \frac{1}{2}$.
所以实数$m$的取值范围是$\{m|m ＞ 4\}$.

15. 已知整数集合$ M = \{ m | $关于$ x $的方程$ x^2 + mx - 36 = 0 $的解为整数$ \} $，集合$ A $满足条件：①$ \varnothing \subsetneqq A \subseteq M $；②若$ a \in A $，则$ -a \in A $，则所有这样的集合$ A $的个数为31。

答案： 15.31
解析 由题意可得$\Delta = m^{2} + 144 ＞ 0$. 设关于$x$的方程$x^{2} + mx - 36 = 0$的两个根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，则$\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - m, \\ x_{1} · x_{2} = - 36, \end{cases}$所以方程$x^{2} + mx - 36 = 0$的整数解只能是36的约数.
当方程的解为$- 1,36$时，$m = - 35$；
当方程的解为$- 2,18$时，$m = - 16$；
当方程的解为$- 3,12$时，$m = - 9$；
当方程的解为$- 4,9$时，$m = - 5$；
当方程的解为$- 6,6$时，$m = 0$；
当方程的解为$1, - 36$时，$m = 35$；
当方程的解为$2, - 18$时，$m = 16$；
当方程的解为$3, - 12$时，$m = 9$；
当方程的解为$4, - 9$时，$m = 5$.
故集合$M = \{ - 35, - 16, - 9, - 5,0,5,9,16,35\}$.
由集合A满足条件：①$\varnothing \subsetneqq A \subseteq M$；②若$a \in A$，则$- a \in A$，得集合M中互为相反数的两个元素同属于集合A或同不属于集合A，因为集合M中有4对相反数和元素0，所以这样的非空集合共有$2^{5} - 1 = 31$个.