《2026年高中必刷题高中物理必修第二册人教版》

7. [黑龙江哈尔滨师范大学附中 2025 高一下月考]如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为 2θ，Ⅱ为地球的近地卫星. 已知地球的自转周期为 T₀，引力常量为 G，根据题中条件，可求出(A)


A.地球的平均密度为 $\frac{3\pi}{GT_{0}^{2}\sin^{3}\theta}$
B.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 sin²2θ
C.卫星Ⅱ的周期为 $\frac{T_{0}}{\sqrt{\sin^{3}\theta}}$
D.卫星Ⅱ运动的一个周期内无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号的时间为 $\frac{(\pi + 2\theta)T_{0}}{2\pi}\sqrt{\sin^{3}\theta}$

答案：
7.A
模型构建
卫星遮挡问题$\sin\frac{\theta_1}{2}=\frac{R}{r_1}$，$\sin\frac{\theta_2}{2}=\frac{R}{r_2}$，由几何关系可知，$\alpha = \frac{\theta_1}{2}+\frac{\theta_2}{2}=\frac{1}{2}\angle AOB$，所以遮挡角为$\angle AOB = \theta_1 + \theta_2$，因此遮挡时间$t = \frac{\theta_1 + \theta_2}{2\pi}T_0$。若两卫星同向运行，$\omega_{相对} = \omega_2 - \omega_1$；若两卫星反向运行，$\omega_{相对} = \omega_1 + \omega_2$。

[解析]设地球质量为$M$，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为$r$和$R$，近地卫星Ⅱ的周期为$T$，卫星Ⅰ为同步卫星，周期为$T_0$，根据开普勒第三定律得$\frac{r^3}{T^2}=\frac{R^3}{T_0^2}$，由题图得$\sin\theta = \frac{R}{r}$，可得卫星Ⅱ的周期为$T = T_0\sqrt{\sin^3\theta}$，C错误；对于卫星Ⅱ，有$\frac{GMm}{R^2}=m(\frac{2\pi}{T})^2R$，地球的平均密度$\rho = \frac{M}{V}=\frac{3M}{4\pi R^3}$，联立可得地球的平均密度为$\rho = \frac{3\pi}{GT_0^2\sin^3\theta}$，A正确；对于不同轨道卫星，根据牛顿第二定律得加速度$a = \frac{GM}{r^2}$，所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为$\frac{a_1}{a_2}=\frac{R^2}{r^2}=\sin^2\theta$，B错误；若卫星Ⅰ不动，则卫星Ⅱ一个周期内无法接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号的时间为$t = \frac{(2\theta + \pi)}{2\pi}T=\frac{(2\theta + \pi)T_0}{2\pi}\sqrt{\sin^3\theta}$，但卫星Ⅰ是运动的，D错误。

8. [湖北荆州沙市中学 2025 高一下月考]已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为 0. P、Q 两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小 g 随物体到星球中心的距离 r 变化的图像如图所示. 关于 P、Q 星球，下列说法正确的是(C)


A.质量相同
B.密度不相同
C.第一宇宙速度大小之比为 1:2
D.同步卫星距星球表面的高度之比为 1:3

答案： 8.C　[解析]由题图可知，两星球表面的重力加速度大小之比和半径之比都是1:2，由天体表面万有引力和重力相等可知$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，可得$M = \frac{gR^2}{G}$，则两星球的质量之比$\frac{M_P}{M_Q}=\frac{1}{8}$，故A错误；密度为$\rho = \frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{３}\pi R^3}$，可得$\rho = \frac{3g}{4\pi GR}$，故两星球密度相同，故B错误；由$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}=mg$，可得$v = \sqrt{gR}$，则两星球的第一宇宙速度大小之比$\frac{v_P}{v_Q}=\frac{1}{2}$，故C正确；由万有引力提供向心力可知，$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$，可得$r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}$，则两星球的
关键点：两星球的自转角速度相同，则自转周期相同，同步卫星的周期相同。
同步卫星的轨道半径之比$\frac{r_P}{r_Q}=\frac{1}{2}$，又因为两星球的半径之比为1:2，故同步卫星距星球表面的高度之比也为1:2，故D错误。

9. [河南南阳五校 2024 高一下联考]神舟飞船在预定轨道上飞行时，每绕地球一圈需要的时间为 T，每圈飞行的路程为 L. 已知地球的半径为 R，引力常量为 G.
（1）请用以上物理量表示地球的质量；
（2）已知 T = 90 min，L = 4.2×10⁴ km，R = 6.37×10³ km，cos18.2°≈0.95. 如果飞船沿赤道平面自西向东飞行，太阳直射赤道，如图所示，请计算航天员每天能看到日出日落的次数及飞船每转一圈航天员看不见太阳的时间（结果与题中单位统一，保留到整数）.

答案：
9.
(1)$\frac{L^3}{2\pi GT^2}$　
(2)16次36min
思路导引解答本题的关键点：
(1)飞船绕地球转一圈，航天员看到一次日出日落；
(2)飞船转到地球背影区时，航天员看不到太阳。
[解析]
(1)由$L = 2\pi r$，可得神舟飞船的轨道半径为$r = \frac{L}{2\pi}$，设飞船的质量为$m$，飞船绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力有$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$，联立解得地球的质量$M = \frac{L^3}{2\pi GT^2}$。
(2)设航天员一天能看到日出日落的次数为$n$，则$n = \frac{T_0}{T}=\frac{24×60}{90}=16$（次）。
飞船转到地球的背影区，航天员就看不到太阳了，如图所示，由几何关系可知$\sin\alpha = \frac{R}{r}=\frac{2\pi R}{L}\approx0.95$，解得$\alpha = 71.8°$。

则飞船每转一圈，航天员看不到太阳的时间为$t = \frac{71.8°×2}{360°}×90min\approx36min$。