《2026年高中必刷题高中物理必修第二册人教版》

6. [山西长治多校 2025 高二上联考]宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统, 其中有一种三星系统简化为如图所示模型, 质量相等的三颗星体位于边长为 $ l $ 的等边三角形 $ ABC $ 的三个顶点上, 三颗星体绕同一点做周期为 $ T $ 的匀速圆周运动. 已知引力常量为 $ G $, 不计其他天体对它们的影响, 关于这个三星系统, 下列说法中正确的是 (D)


A.三颗星体做圆周运动的向心力相同
B.三颗星体的质量均为 $ \frac{4 \sqrt{3} \pi^{2} l^{3}}{3 G T^{2}} $
C.三颗星体自转角速度相同
D.三颗星体线速度大小均为 $ \frac{2 \sqrt{3} \pi l}{3 T} $

答案： 6.D　[解析]三颗星体做圆周运动的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，根据几何关系可知$r = \frac{\sqrt{3}}{3}l$，根据题意，可知这三颗星体的质量相同，设为$M$，根据牛顿第二定律有$F_向 = 2 × \frac{GM^2}{l^2}\cos 30° = M\frac{4\pi^2}{T^2}r$，解得$M = \frac{4\pi^2l^3}{3GT^2}$，三颗星体做圆周运动的向心力大小相等，方向不同，故A、B错误；根据牛顿第二定律有$2 × \frac{GM^2}{l^2}\cos 30° = M\frac{v^2}{r}$，解得线速度大小为$v = \frac{2\sqrt{3}\pi l}{3T}$，根据公转周期可以计算公转角速度，不能计算自转角速度，故C错误，D正确.

7. [北京三十五中 2025 高一下期中]如图所示为人类历史上第一张黑洞照片. 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体, 以至于光都无法逃逸, 科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞. 已知某黑洞的逃逸速度为 $ v=\sqrt{\frac{2 G M}{R}} $, 其中 $ G $ 为引力常量, $ M $ 是该黑洞的质量, $ R $ 是该黑洞的半径. 若天文学家观测到与该黑洞相距为 $ r $ 的天体以周期 $ T $ 绕该黑洞做匀速圆周运动, 则下列关于该黑洞的说法正确的是 (D)

A.该黑洞的质量为 $ \frac{G T^{2}}{4 \pi r^{3}} $
B.该黑洞的质量为 $ \frac{4 \pi r^{3}}{G T^{2}} $
C.该黑洞的最大半径为 $ \frac{4 \pi^{2} r^{3}}{c^{2}} $
D.该黑洞的最大半径为 $ \frac{8 \pi^{2} r^{3}}{c^{2} T^{2}} $

答案： 7.D　[解析]天体绕黑洞运动时，有$\frac{GMm}{r^2} = m(\frac{2\pi}{T})^2r$，解得$M = \frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$，A、B错误；黑洞的逃逸速度不小于光速，有$\sqrt{\frac{2GM}{R}} \geq c$，解得$R \leq \frac{2GM}{c^2} = \frac{8\pi^2r^3}{c^2T^2}$，C错误，D正确.

8. [山东枣庄三中 2024 高一下月考]天文学家观测河外星系大麦哲伦云时, 发现了 LMCX - 3 双星系统, 它由可见星 $ A $ 和不可见的暗星 $ B $ 构成, 将两星视为质点, 不考虑其他天体的影响. $ A $、$ B $ 围绕两者连线上的 $ O $ 点做匀速圆周运动, 它们之间的距离保持不变, 如图所示. 可见星 $ A $ 所受暗星 $ B $ 的引力 $ F_{A} $ 可等效为位于 $ O $ 点处质量为 $ m' $ 的星体 (视为质点) 对它的引力, 引力常量为 $ G $, 由观测能够得到可见星 $ A $ 的速率 $ v $ 和运行周期 $ T $.
(1) 设 $ A $ 和 $ B $ 的质量分别为 $ m_{1} $、$ m_{2} $, 试求 $ m' $ 的表达式 (用 $ m_{1} $、$ m_{2} $ 表示);
(2) 求暗星 $ B $ 的质量 $ m_{2} $ 与可见星 $ A $ 的速率 $ v $、运行周期 $ T $ 和质量 $ m_{1} $ 之间的关系式;
(3) 恒星演化到末期, 如果其质量大于太阳质量 $ m_{\mathrm{S}} $ 的 2 倍, 它将有可能成为黑洞. 若可见星 $ A $ 的速率 $ v=2.7 × 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} $, 运行周期 $ T=4.7 \pi × 10^{4} \mathrm{~s} $, 质量 $ m_{1}=6 m_{\mathrm{S}} $, 试通过估算来判断暗星 $ B $ 有可能是黑洞吗? ($ G=6.67 × 10^{-11} \mathrm{~N} · \mathrm{m}^{2} / \mathrm{kg}^{2}, m_{\mathrm{S}}=2.0 × 10^{30} \mathrm{~kg} $)

答案： 8.
(1)$m' = (\frac{m_2}{m_1 + m_2})^3m_3$
(2)$\frac{m_2^3}{(m_1 + m_2)^2} = \frac{r_2^3v^3T}{2\pi G}$
(3)暗星B有可能是黑洞
[解析]
(1)设$A$、$B$的轨道半径分别为$r_1$、$r_2$，由题意知，$A$、$B$做匀速圆周运动的角速度相同，设为$\omega$，有$F_A = m_1\omega^2r_1$，$F_B = m_2\omega^2r_2$，且$F_A = F_B$，设$A$、$B$之间的距离为$r$，有$r = r_1 + r_2$，联立解得$r = \frac{m_1 + m_2}{m_2}r_1$，由万有引力定律有$F_A = G\frac{m_1m_2}{r^2}$，可得$F_A = G\frac{m_1m_3}{(m_1 + m_2)^2r_1^2}$，又$F_A = G\frac{m_1m'}{r_1^2}$，比较可得$m' = \frac{m_2^3}{(m_1 + m_2)^2}$.
(2)对星$A$，由牛顿第二定律，有$G\frac{m_1m'}{r_1^2} = m_1\frac{v^2}{r_1}$，星$A$的轨道半径$r_1 = \frac{vT}{2\pi}$，联立可得$\frac{m_2^3}{(m_1 + m_2)^2} = \frac{v^3T}{2\pi G}$.
(3)将$m_1 = 6m_s$代入
(2)中的关系式可得$\frac{m_2^3}{(6m_s + m_2)^2} = 6.9 × 10^{30} kg = 3.45m_s$，设$m_2 = nm_s(n ＞ 0)$，则$\frac{m_2^3}{(6m_s + m_2)^2} = \frac{n}{(\frac{6}{n} + 1)^2}m_s$，可见，$\frac{m_2^3}{(6m_s + m_2)^2}$的值随$n$的增大而增大，令$n = 2$，得$\frac{n}{(\frac{6}{n} + 1)^2}m_s = 0.125m_s ＜ 3.45m_s$，若使上式成立，则$n$必大于$2$，即暗星$B$的质量$m_2$必大于$2m_s$，由此可判断暗星$B$有可能是黑洞.