《2026年高中必刷题高中物理必修第二册人教版》

1. 木星有众多卫星，其中木卫四绕木星做匀速圆周运动的轨道半径约为 $ 2 × 10^{9} \, m $，公转周期约为 $ 1.5 × 10^{6} \, s $，已知引力常量 $ G = 6.67 × 10^{-11} \, N · m^{2}/kg^{2} $，则木星质量的数量级为(B)

A.$ 10^{25} \, kg $
B.$ 10^{27} \, kg $
C.$ 10^{29} \, kg $
D.$ 10^{31} \, kg $

答案： 1.B [解析]设木卫四的质量为$m$，木星的质量为$M$，根据万有引力提供向心力，有$G \frac{Mm}{r^{2}} = m \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} r$，代入数据解得$M \approx 2 × 10^{27} kg$，故B正确.
教材变式本题目由教材P58第3题演变而来，考查应用万有引力定律估算中心天体的质量.

2. [山西2025高一下期中] 我国将于2026年前后发射嫦娥七号探测器，设嫦娥七号到达月球后贴近月球表面飞行一周所用时间为 $ T_{1} $，某近地卫星环绕地球运行一周所用时间为 $ T_{2} $，将月球和地球均看成质量分布均匀的球体，则月球与地球的密度之比为(C)

A.$ \dfrac{T_{2}}{T_{1}} $
B.$ \dfrac{T_{1}}{T_{2}} $
C.$ \dfrac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} $
D.$ \dfrac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} $

答案： 2.C　[解析]设中心天体质量为$M$，半径为$R$，环绕天体质量为$m$，环绕周期为$T$，对环绕天体有$G \frac{Mm}{R^{2}} = m \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} R$，中心天体密度$\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}$，联立解得$\rho = \frac{3 \pi}{G T^{2}}$，可知密度与周期平方成反比，故月球与地球的密度之比$\frac{\rho_{月}}{\rho_{地}} = \frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}}$，故C正确.
方法总结求解天体质量和密度的思路
(1)利用万有引力等于重力(已知天体表面的重力加速度$g$和天体半径$R$)
由$G \frac{Mm}{R^{2}} = mg$，得天体质量$M = \frac{g R^{2}}{G}$；天体密度$\rho = \frac{M}{V} = \frac{\frac{g R^{2}}{G}}{\frac{4}{3} \pi R^{3}} = \frac{3g}{4 \pi G R}$.
(2)利用万有引力提供向心力(已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径$r$和周期$T$)
由$G \frac{Mm}{r^{2}} = m \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} r$，得$M = \frac{4 \pi^{2} r^{3}}{G T^{2}}$；若已知天体的半径$R$，则天体的密度$\rho = \frac{M}{V} = \frac{\frac{4 \pi^{2} r^{3}}{G T^{2}}}{\frac{4}{3} \pi R^{3}} = \frac{3 \pi r^{3}}{G T^{2} R^{3}}$；若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径$r$等于天体半径$R$，则天体密度$\rho = \frac{3 \pi}{G T^{2}}$.

3. (多选) 航天器登陆某星球(可视为质量分布均匀的球体)的过程中，测得航天器在该星球表面附近做匀速圆周运动的周期为 $ T $，着陆后用测力计测得质量为 $ m $ 的砝码重力为 $ F $，已知引力常量为 $ G $。忽略星球自转影响，以下说法正确的是(BD)

A.航天器在星球表面附近运动的向心加速度大于 $ \dfrac{F}{m} $
B.航天器在星球表面附近运动的向心加速度等于 $ \dfrac{F}{m} $
C.该星球的密度 $ \rho = \dfrac{3\pi}{GT} $
D.该星球的半径 $ R = \dfrac{FT^{2}}{4\pi^{2}m} $

答案： 3.BD　[解析]航天器在星球表面附近做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有$G \frac{M m}{R^{2}} = m a$，解得航天器在星球表面附近运动的向心加速度大小为$a = \frac{G M}{R^{2}}$，着陆后万有引力等于重力，有$G \frac{M m}{R^{2}} = m g$，又$g = \frac{F}{m}$，联立解得$a = g = \frac{F}{m}$，A错误，B正确；航天器在星球表面附近做匀速圆周运动时，有$G \frac{M m}{R^{2}} = m \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} R$，则该星球的密度$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3}} = \frac{3 \pi}{G T^{2}}$，C错误；根据$G \frac{M m}{R^{2}} = m g = m \frac{v^{2}}{T^{2}} R$，$g = \frac{F}{m}$，可得该星球的半径$R = \frac{F T^{2}}{4 \pi^{2} m}$，D正确.
关键点：注意区分万有引力提供的是重力还是向心力

4. [湖南怀化2024高一下期末] 某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做匀速圆周运动的半径 $ r $ 与周期 $ T $，作出如图所示的图像。已知引力常量为 $ G $，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是(B)

A.图线①是地球卫星运动的规律

B.地球的质量为 $ \dfrac{4\pi^{2}a}{Gb} $
C.木星的平均密度为 $ \dfrac{3\pi d}{Gc} $
D.木星与地球的平均密度之比为 $ \dfrac{c}{b} $

答案： 4.B　[解析]根据万有引力提供向心力有$G \frac{M m}{r^{2}} = m (\frac{2 \pi}{T})^{2} r$，可得$r^{3} = \frac{G M}{4 \pi^{2}} T^{2}$，可知中心天体质量越大，$r^{3}-T^{2}$的图像斜率越大，因木星质量大于地球质量，所以图线①是木星的卫星运动的规律，图线②是地球卫星运动的规律，故$\frac{a}{b} = \frac{G M_{地}}{4 \pi^{2}}$，解得$M_{地} = \frac{4 \pi^{2} a}{G b}$，故A错误，B正确；由图线①上的点可得木星的半径的三次方$R_{木}^{3} = d$，根据木星的平均密度$\rho_{木} = \frac{M_{木}}{\frac{4}{3} \pi R_{木}^{3}}$，解得$\rho_{木} = \frac{3 \pi}{G c}$，同理可得$\rho_{地} = \frac{3 \pi}{G b}$，故$\frac{b}{c} = \frac{\rho_{木}}{\rho_{地}}$，故C、D错误.

5. [云南昆明一中2025高一下期中] 牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引力，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足 $ F \propto \dfrac{Mm}{r^{2}} $。已知地月之间的距离大约是地球半径 $ R $ 的60倍，地球表面的重力加速度为 $ g $，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期约为(A)

A.$ 120\pi \sqrt{\dfrac{60R}{g}} $
B.$ 30\pi \sqrt{\dfrac{g}{R}} $
C.$ 30\pi \sqrt{\dfrac{R}{g}} $
D.$ 120\pi \sqrt{\dfrac{g}{R}} $

答案： 5.A　[解析]在地球表面，忽略地球自转，万有引力等于重力，则有$G \frac{m_{地} m}{R^{2}} = m g$，月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有$G \frac{m_{地} m_{月}}{r^{2}} = m_{月} \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} r$，由题意可知$r = 60 R$，联立解得$T = 120 \pi \sqrt{\frac{60 R}{g}}$，A正确.

6. [贵州名校协作体2025高二上联考] 2024年5月3日17时27分，“嫦娥六号”探测器由长征五号遥八运载火箭在文昌航天发射场成功发射，在某段时间内“嫦娥六号”正好绕月球做速度大小为 $ v $ 的匀速圆周运动，且在时间 $ t $ 内转过圆心角 $ \theta $(弧度制)。已知引力常量为 $ G $，则月球质量可表示为(A)

A.$ \dfrac{v^{3}t}{G\theta} $
B.$ \dfrac{v^{3}t}{2G\theta} $
C.$ \dfrac{vt}{G\theta} $
D.$ \dfrac{v^{2}t}{2G\theta} $

答案： 6.A　[解析]在某段时间内“嫦娥六号”绕月球做匀速圆周运动的角速度大小为$\omega = \frac{\theta}{t}$，由$v = \omega r$，可得“嫦娥六号”绕月球做匀速圆周运动的半径为$r = \frac{v t}{\theta}$，“嫦娥六号”绕月球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，则$G \frac{M m}{r^{2}} = m \frac{v^{2}}{r}$，解得月球的质量$M = \frac{v^{2} r}{G} = \frac{v^{3} t}{G \theta}$，故A正确.