《2026年高中必刷题高中物理必修第二册人教版》

13. （16分）[陕西西安2025高一下联考]如图所示，一根原长为$L = 0.1$m的轻弹簧套在一长为$1.8L$的光滑直杆$AB$上，其下端固定在杆的$A$端，质量为$m = 1$kg的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕过杆$A$端的竖直轴$OO'$匀速转动，且杆与水平面间始终保持$\theta = 53^{\circ}$角。已知杆处于静止状态时弹簧长度为$0.6L$，$\sin53^{\circ} = 0.8$，$\cos53^{\circ} = 0.6$，重力加速度$g = 10$m/s$^{2}$，求：
（1）弹簧的劲度系数$k$；
（2）弹簧为原长时，小球的角速度$\omega_{0}$；（结果可含根号）
（3）当杆的角速度满足什么条件时小球会从$B$端飞出。（结果可含根号）

答案： 13.
(1)$200\ N/m$
(2)$\frac{20\sqrt{5}}{3}\ rad/s$
(3)$\omega ＞ \frac{100\sqrt{3}}{9}\ rad/s$
【解析】
(1)杆处于静止状态时，对小球受力分析，由平衡条件得$mg\sin\ \theta = F_{弹}$，根据胡克定律得$F_{弹} = k(L - 0.6L)$，解得$k = 200\ N/m$。
(2)弹簧为原长时，小球只受重力和杆的支持力，有$mg\tan\ \theta = mL\cos\ \theta · \omega_{0}^{2}$，解得$\omega_{0} = \frac{20\sqrt{5}}{3}\ rad/s$。
(3)当弹簧伸长量为$0.8L$时，小球恰好不会从$B$端飞出，设此时弹簧的弹力为$F$，对小球受力分析可得，竖直方向上有$F_{x}\cos\ \theta = mg + F\sin\ \theta$，水平方向上有$F_{x}\sin\ \theta + F\cos\ \theta = m(L + 0.8L)\cos\ \theta · \omega^{2}$，根据胡克定律得$F = k · 0.8L$，解得$\omega = \frac{100\sqrt{3}}{9}\ rad/s$，所以当杆的角速度$\omega ＞ \frac{100\sqrt{3}}{9}\ rad/s$时，小球会从$B$端飞出。

14. （18分）[广东2025高一下联考]如图所示，倾角为$\theta = 37^{\circ}$的光滑斜面体固定在水平地面上，在斜面上固定一个光滑的半圆形挡板$AEB$，半径为$r = 1$m，其最低点$A$、最高点$B$的切线水平，$AB$是半圆形挡板的直径，$OE$垂直于边$AB$和$CD$，斜面体右侧地面上有半径为$R = 1.15$m的半球形容器开口向上放置，直径$MN$和矩形$BCQP$在同一竖直面内，$M$点到$BP$的水平距离为$L = 0.3$m。重力加速度$g = 10$m/s$^{2}$，忽略空气阻力，$\sin37^{\circ} = 0.6$，$\cos37^{\circ} = 0.8$，现让质量为$m$的小球（可视为质点）从$A$点以一定的水平速度滑进$AEB$。
（1）若小球恰好从$B$点飞出，求通过$B$点的速度大小；
（2）若小球从$B$点以速度$v_{0}$飞出，要落入右边的容器中，则$v_{0}$需满足什么条件？
（3）若小球从$A$点进入后运动到图中$F$点（半圆形挡板与$OC$的交点）时离开挡板，求经过$F$点时的速度大小$v_{F}$。（结果可带根号）

答案：
14.
(1)$\sqrt{6}\ m/s$
(2)$3\ m/s ＜ v_{0} ＜ 26\ m/s$
(3)$\sqrt{3\sqrt{2}}\ m/s$
思路导引
【解析】
(1)若恰从$B$点飞出，此时对挡板的压力$N = 0$，如图甲所示，由牛顿第二定律可得$G_{1} = mg\sin\ \theta = \frac{mv_{B}^{2}}{r}$，代入数据解得$v_{B} = \sqrt{6}\ m/s$。
(2)小球从$B$点飞出后，做平抛运动，有$2r\sin\ \theta - R = \frac{1}{2}gt^{2}$，$x = v_{0}t$，根据题意可知$L ＜ x ＜ L + 2R$，联立解得$3\ m/s ＜ v_{0} ＜ 26\ m/s$。
(3)当小球从$F$点离开挡板时，如图乙所示，此时对挡板的压力$N' = 0$，由牛顿第二定律可得$G_{1}\sin\ \beta = mg\sin\ \theta\sin\ \beta = \frac{mv_{F}^{2}}{r}$，由几何关系可知$\beta = 45^{\circ}$，代入数据解得$v_{F} = \sqrt{3\sqrt{2}}\ m/s$。