《2026年高中必刷题高中物理必修第二册人教版》

12. [安徽2025·9](多选)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为$a$和$b$，卫星的运行周期为$T$；卫星乙从DRO变轨进入半径为$r$的环月圆形轨道，周期也为$T$。月球的质量为$M$，半径为$R$，引力常量为$G$。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(BC)

A.$r=\frac{a+b+R}{2}$
B.$r=\frac{a+b}{2}+R$
C.$M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$
D.$M=\frac{4\pi^2R^3}{GT^2}$

答案： 12.BC 【解析】卫星甲和卫星乙均绕月球运动，周期相同，根据开普勒第三定律可知，卫星甲运动的轨道的半长轴与卫星乙运动的轨道半径相同，即$\frac{a + b + 2R}{2} = r$，可得$r = \frac{a + b}{2} + R$，A错误，B正确；卫星乙绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，可得$G \frac{Mm}{r^{2}} = m \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} r$，解得$M = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{GT^{2}}$，C正确，D错误.

13. [辽宁2023·7]在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为$T_1$，地球绕太阳运动的周期为$T_2$，地球半径是月球半径的$k$倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(D)


A.$k^3(\frac{T_1}{T_2})^2$
B.$k^3(\frac{T_2}{T_1})^2$
C.$\frac{1}{k^3}(\frac{T_1}{T_2})^2$
D.$\frac{1}{k^3}(\frac{T_2}{T_1})^2$

答案： 13.D 【解析】设月球与地球的距离为$r_{1}$，月球半径为$R_{1}$，地球与太阳距离为$r_{2}$，太阳的半径为$R_{2}$.
等量关系一：月球绕地球运动，有$\frac{GM_{地}}{r_{1}^{2}} = M_{月} \left( \frac{2\pi}{T_{1}} \right)^{2} r_{1}$，地球绕太阳运动，有$\frac{GM_{太}}{r_{2}^{2}} = M_{地} \left( \frac{2\pi}{T_{2}} \right)^{2} r_{2}$，两式联立有$\frac{M_{地}}{M_{太}} = \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}} · \frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}}$.
等量关系二：星体的质量等于密度与体积的乘积，有$M_{地} = \rho_{地} · \frac{4}{3} \pi (kR_{1})^{3}$、$M_{太} = \rho_{太} · \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$，两式联立有$\frac{M_{地}}{M_{太}} = \frac{\rho_{地}}{\rho_{太}} · \frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}$.
等量关系三：由角直径相等，结合相似三角形可得$\frac{R_{1}}{r_{1}} = \frac{R_{2}}{r_{2}}$.
联立上述等量关系式，解得$\frac{\rho_{地}}{\rho_{太}} = \frac{1}{k^{3}} \left( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right)^{2}$，D正确.

1. 一个半径为$R$的小球由两种不同材质的半球拼接而成，右半球的密度为$\rho_1$，左半球的密度为$\rho_2$，且$\rho_1=2\rho_2=2\rho_0$。过球心$O$的水平虚线上的两点$A$、$B$到$O$点的距离均为$r$，且$A$、$B$两点各固定一个质量为$m$的质点。已知在$B$处的质点受到小球的万有引力大小为$F$，引力常量为$G$，不考虑两质点间引力的影响，则在$A$处的质点受到小球的万有引力大小为(C)


A.$\frac{4\pi GR^3\rho_0m}{r^2}$
B.$\frac{4\pi GR^3\rho_0m}{r^2}+F$
C.$\frac{4\pi GR^3\rho_0m}{r^2}-F$
D.$\frac{4\pi GR^3\rho_0m}{3r^2}$

答案： 1.C 【解析】将该球视为一个密度为$\rho_{0}$、质量为$M$的小球叠加一个密度为$\rho_{0}$、质量为$\frac{M}{2}$的右半球，设质量为$\frac{M}{2}$的右半球对$B$处的质点引力大小为$F_{0}$，则有$F = G \frac{Mm}{r^{2}} + F_{0}$.将该球视为一个密度为$2\rho_{0}$、质量为$2M$的小球去掉一个密度为$\rho_{0}$、质量为$\frac{M}{2}$的左半球，根据对称性可知该左半球对$A$处的质点引力大小也为$F_{0}$，整个球对$A$处的质点引力大小为$F_{1} = G \frac{2Mm}{r^{2}} - F_{0} = G \frac{2Mm}{r^{2}} - \left( F - G \frac{Mm}{r^{2}} \right) = \frac{3Mm}{r^{2}} - F$，其中$M = \frac{4\pi R^{3}}{3} \rho_{0}$，解得$F_{1} = \frac{4\pi GR^{3} \rho_{0} m}{r^{2}} - F$，故C正确.

2. (多选)如图甲所示，设火星和地球在同一轨道平面绕太阳做匀速圆周运动，火星的轨道半径为$R_M$，地球的轨道半径为$R_0$，且$R_M=1.5R_0$。从地球表面向火星发射探测器，简单且节能的发射过程分为两步：第一步通过火箭发射使探测器脱离地球引力束缚成为一个沿地球轨道运行的人造行星；第二步是在适当的时候点火加速，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别交于长轴两端的半个椭圆轨道射到火星上。下列说法正确的是(BD)


A.为使探测器成为沿地球轨道运行的人造行星，在地球表面的发射速度应为第一宇宙速度
B.火星的运行周期约为671天
C.探测器沿椭圆轨道从地球轨道转移到火星轨道所用的时间约为510天
D.如图乙所示，当$\theta\approx43°$时，给在地球轨道上运行的探测器点火加速，使其沿着椭圆轨道运行，探测器恰好能落到火星上

答案： 2.BD 【解析】为使探测器成为沿地球轨道运行的人造行星，在地球表面的发射速度应大于等于第二宇宙速度，A错误；根据开普勒第三定律得$\frac{T_{火}^{2}}{R_{M}^{3}} = \frac{T_{地}^{2}}{R_{0}^{3}}$，解得$T_{火} \approx 671$天，B正确；椭圆轨道的半长轴$a = \frac{R_{0} + 1.5R_{0}}{2} = 1.25R_{0}$，根据开普勒第三定律得$\frac{T_{椭}^{2}}{a^{3}} = \frac{T_{地}^{2}}{R_{0}^{3}}$，探测器沿椭圆轨道从地球轨道转移到火星轨道所用的时间约为$t = \frac{T_{椭}}{2} \approx 255$天，C错误；从探测器点火到追上火星的过程中，火星转过的圆心角为$\alpha = \frac{t}{T_{火}} × 360^{\circ} \approx 137^{\circ}$，则$\theta = 180^{\circ} - 137^{\circ} = 43^{\circ}$，D正确.