《2026年高中必刷题高中物理必修第二册人教版》

11. （11分）[山东潍坊2025高一下期中]如图甲所示，航天员驾驶月球探测车在半球形陨石坑内进行科学考察，通过车载速度传感器与压力传感器，可测得探测车经过陨石坑最低点时的车速$v$和对地面压力$F_{N}$，根据多次测出的数据得到$F_{N} - v^{2}$图像如图乙所示，图乙中$N$点坐标为$(c,b)$，图线与纵轴交点坐标为$(0,a)$。已知探测车与航天员总质量为$m$，月球半径为$R$，引力常量为$G$，忽略月球自转。求：
（1）月球的质量$M$；
（2）月球卫星的最小发射速度$v$；
（3）陨石坑的半径$r$。

答案： 11.
(1)$\frac{R^{2}a}{Gm}$
(2)$\sqrt{\frac{Ra}{m}}$
(3)$\frac{mc}{b - a}$
【解析】
(1)设月球表面的重力加速度为$g$，由万有引力等于重力有$mg = G\frac{Mm}{R^{2}}$，
由题图乙可知，当探测车速度为0时，探测车对月球表面的压力为$a$，则有$a = mg$，
联立可得$M = \frac{R^{2}a}{Gm}$。
(2)在月球表面附近，由万有引力提供向心力，可得$\frac{GMm}{R^{2}} = m\frac{v^{2}}{R}$，其中$M = \frac{R^{2}a}{Gm}$，可得$v = \sqrt{\frac{Ra}{m}}$。
(3)车对月球表面的压力$F_{N}$与月球表面对车的支持力等大反向，故探测车在陨石坑最低处，有$F_{N} - mg = m\frac{v^{2}}{r}$，
即$F_{N} = m\frac{v^{2}}{r} + mg$，
由题图乙知$\frac{m}{r}v^{2}= \frac{b - a}{c}$，可得$r = \frac{mc}{b - a}$。

12. （13分）[河北张家口2024高一下期中]某星球的质量约为地球质量的4倍，半径与地球近似相等，忽略星球与地球自转。
（1）若从地球表面高为$h$处平抛一物体，水平射程为$10$ m，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，水平射程应为多少？
（2）如图所示，在该星球表面发射一枚带有精密探测器的火箭，火箭竖直向上做加速直线运动。已知该星球半径为$R_{0}$，表面重力加速度为$g_{0}$，升到某一高度时，加速度为$\frac{1}{6}g_{0}$，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的$\frac{31}{36}$，求此时火箭所处位置距星球表面的高度。

答案： 12.
(1)$5m$
(2)$\frac{R_{0}}{5}$
【解析】
(1)设该星球质量为$M_{0}$，地球质量为$M_{1}$，半径为$R_{1}$，对任意星球表面的物体，万有引力与重力大小相等，则$\frac{GMm}{R^{2}} = mg$，可得$g = \frac{GM}{R^{2}}$，
在星球表面平抛一物体，有$h = \frac{1}{2}gt^{2}$，$x = v_{0}t$，
解得$x = v_{0}R\sqrt{\frac{2h}{GM}}$，
设平抛物体在该星球和地球的水平射程分别为$x_{1}$和$x_{2}$，得$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{R_{0}}{R}\sqrt{\frac{M_{1}}{M_{0}}}$，代入数据解得$x_{1} = 5m$。
(2)起飞前对探测器有$N_{1} = m_{0}g_{0}$，
在高$h$处时对探测器根据牛顿第二定律得$N_{2} - m_{0}g_{1} = m_{0}a$，
由题意得$\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{31}{36}$，$a = \frac{1}{6}g_{0}$，联立得$g_{1} = \frac{25}{36}g_{0}$，
在该星球表面有$\frac{GM_{0}m}{R_{0}^{2}} = m_{0}g_{0}$，在高$h$处有$\frac{GM_{0}m}{(R_{0} + h)^{2}} = mg_{1}$，
联立可得$\frac{g_{0}}{g_{1}} = \frac{(R_{0} + h)^{2}}{R_{0}^{2}}$，解得$h = \frac{R_{0}}{5}$。