《2026年高中必刷题高中物理必修第二册人教版》

13. （14分）[江苏扬州中学2025高一下月考]近期我国科学家使用云南丽江双子天文台WORC14望远镜再次观测了大熊座螺旋星系M108，该星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为$R$的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为$M$，可认为均匀分布，球体外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为$r$，引力常量为$G$。
（1）求$r ＞ R$区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小$v$与$r$的关系；
（2）研究表明，星系M108还在高速自转，假设其自转周期为$T_{0}$，求该螺旋星系不会瓦解的最小密度；
（3）已知一个质量均匀分布的球体内，某点所受外层球壳对其万有引力的合力为零，即如图所示$P$处物质受阴影部分物质的万有引力的合力为零。求$r \leq R$区域的恒星做匀速圆周运动的周期$T$。

答案： 13.
(1)$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}(r ＞ R)$
(2)设螺旋星系的半径为$R'$，质量为$M'$，对星系最外端质量为$m$的物质，由万有引力提供向心力，得$\frac{GM'm}{R'^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}R'$，
解得$M' = \frac{4\pi^{2}R'^{3}}{GT_{0}^{2}}$，
体积为$V = \frac{4}{3}\pi R'^{3}$，则该螺旋星系不会瓦解的最小密度为$\rho = \frac{M'}{V} = \frac{\frac{4\pi^{2}R'^{3}}{GT_{0}^{2}}}{\frac{4}{3}\pi R'^{3}} = \frac{3\pi}{GT_{0}^{2}}$。
(3)在$r\leq R$区域星系的质量$M_{0} = M\frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{Mr^{3}}{R^{3}}$，对$P$处的恒星，由万有引力提供向心力得$\frac{GM_{0}m}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，解得$T = 2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{GM}}$。
思路导引
(1)根据万有引力提供向心力列式求解线速度；
(2)根据万有引力提供向心力求解质量，结合质量和密度的公式列式求解最小密度；
(3)根据题意求出在$r\leq R$区域的质量，再根据万有引力提供向心力列式求解周期。
【解析】
(1)由万有引力提供向心力有$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$，解得$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}(r ＞ R)$。

14. （16分）[山西2024高一下期中]当某一地外行星（火星、木星、土星、天王星、海王星）在绕日公转过程中运行到与地球、太阳成一直线的状态，且地球恰好位于太阳和地外行星之间的这种天文现象叫“冲日”，冲日前后是观测地外行星的好时机。如图所示是土星冲日示意图，已知地球公转周期是$1$年，土星质量是地球的$95$倍，土星半径是地球的$9.5$倍，土星的公转半径是地球的$9.5$倍，地球和土星的公转方向一样，忽略星球自转影响。$(\sqrt{9.5^{3}} \approx 29)$
（1）地球和太阳间的万有引力是土星和太阳间的几倍？
（2）土星冲日平均多长时间出现一次？
（3）假设人类在将来的某天登陆土星，若航天员在地面上最多能举起质量为$m$的物体，则他在土星表面最多能举起质量是多少的物体？

答案： 14.
(1)$0.95$
(2)$1.04$年
(3)$0.95m$
【解析】
(1)由万有引力定律有$F = G\frac{Mm}{r^{2}}$，
对地球有$F_{地} = G\frac{Mm_{地}}{r_{地}^{2}}$，对土星有$F_{土} = G\frac{Mm_{土}}{r_{土}^{2}}$，
联立得$\frac{F_{地}}{F_{土}} = \frac{m_{地}}{m_{土}}×\frac{r_{土}^{2}}{r_{地}^{2}} = 0.95$。
(2)行星绕太阳转动，万有引力提供向心力，可得$\frac{GMm}{r^{2}} = m(\frac{2\pi}{T})^{2}r$得$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$，代入数据得土星的公转周期$T_{土} = \sqrt{\frac{r_{土}^{3}}{r_{地}^{3}}}T_{地}≈29$年，
设每隔时间$t$出现一次土星冲日，则有$(\omega_{地} - \omega_{土})t = 2\pi$，
突破点：也可由$\frac{t}{T_{地}} - \frac{t}{T_{土}} = 1$求解
因为$\omega = \frac{2\pi}{T}$，整理可得$t = \frac{T_{地}T_{土}}{T_{土} - T_{地}} = \frac{29×1}{29 - 1}$年$= 1.04$年。
(3)在地球表面上有$\frac{GMm_{地}}{R_{地}^{2}} = m_{地}g_{地}$，在土星表面上有$\frac{GMm_{土}}{R_{土}^{2}} = m_{土}g_{土}$，联立得$\frac{g_{地}}{g_{土}} = \frac{m_{地}}{m_{土}}×\frac{R_{土}^{2}}{R_{地}^{2}} = 0.95$，
设航天员在土星上举起物体的质量为$m'$，则$m_{地}g_{地} = m'g_{土}$，
关键点：航天员能举起的最大物体重力的大小是相同的
可得$m' = 0.95m$。
教材变式本题目由教材P58第1题演变而来。除了教材考查的宇航员在星球表面能举起物体的最大质量，本题延伸考查了土星冲日的时间间隔。