《2026年高中必刷题高中物理必修第二册人教版》

7. [河北2025检测] “北斗”卫星导航系统是我国自主研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统。假设系统中有在同一轨道平面上同向运行的两颗地球卫星 $ P $、$ Q $，其对地张角分别为 $ \alpha $、$ \theta $，其中 $ \alpha ＞ \theta $，如图所示。已知地球的半径为 $ R $，地球表面的重力加速度为 $ g $。求：
(1) 卫星 $ P $ 运行的线速度大小；
(2) 两颗卫星相邻两次相距最近的时间间隔。

答案：
7.
(1)$\sqrt{g R \sin \frac{\alpha}{2}}$
(2)$\frac{2 \pi \sqrt{R}}{\sqrt{g} (\sqrt{\sin^{3} \frac{\alpha}{2}} - \sqrt{\sin^{3} \frac{\theta}{2}})}$
思路导引
(1)求卫星$P$的线速度大小时，半径的几何关系如图所示.
(2)两颗卫星相邻两次相距最近时转过的角度的关系为$\theta_{P} - \theta_{Q} = 2 \pi$.

[解析]
(1)在地球表面有$G \frac{M m_{0}}{R^{2}} = m_{0} g$，
根据几何关系可知，$P$的轨道半径为$r_{P} = \frac{R}{\sin \frac{\alpha}{2}}$
卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有
$G \frac{M m}{r_{P}^{2}} = m \frac{v^{2}}{r_{P}}$，
解得$v = \sqrt{g R \sin \frac{\alpha}{2}}$
(2)由几何关系可知，$Q$的轨道半径为$r_{Q} = \frac{R}{\sin \frac{\theta}{2}}$
卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有
$G \frac{M m'}{r_{Q}^{2}} = m' \frac{4 \pi^{2} r_{Q}}{T_{Q}^{2}}$，$G \frac{M m}{r_{P}^{2}} = m \frac{4 \pi^{2} r_{P}}{T_{P}^{2}}$
解得$T_{Q} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g \sin^{3} \frac{\theta}{2}}}$，$T_{P} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g \sin^{3} \frac{\alpha}{2}}}$
设两卫星相邻两次相距最近的时间间隔为$t$，则有
关键点：相邻两次相距最近，即为快的比慢的多转了一圈（$2 \pi$）
$\frac{2 \pi}{T_{P}} t - \frac{2 \pi}{T_{Q}} t = 2 \pi$，
解得$t = \frac{2 \pi \sqrt{R}}{\sqrt{g} (\sqrt{\sin^{3} \frac{\alpha}{2}} - \sqrt{\sin^{3} \frac{\theta}{2}})}$

8. [浙江2024北斗星盟竞赛] 将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑地球自转，其表面的重力加速度为 $ g_{0} $。若考虑地球自转，则其表面纬度为 $ \psi $ 处的重力加速度(地球半径为 $ R $、自转角速度为 $ \omega $)(B)

A.$ g \approx g_{0}\left(1 + \dfrac{\omega^{2}R}{g_{0}}\cos\psi × \sin\psi\right) $
B.$ g \approx g_{0}\left(1 - \dfrac{\omega^{2}R}{g_{0}}\cos^{2}\psi\right) $
C.$ g \approx g_{0}\left(1 - \dfrac{\omega^{2}R}{g_{0}}\sin^{2}\psi\right) $
D.$ g \approx g_{0}\left(1 - \dfrac{\omega^{2}R}{g_{0}}\cos\psi × \sin\psi\right) $

答案：
8.B　[解析]不考虑地球自转，其表面的重力加速度为$g_{0}$，则有$G \frac{M m}{R^{2}} = m g_{0}$.

若考虑地球自转，则其表面纬度为$\psi$处物体的万有引力垂直于地轴的分力提供自转所需的向心力，另一个分力即为重力，如图所示，根据余弦定理有$(m g)^{2} = (m \omega^{2} R \cos \psi)^{2} + (\frac{M m}{R^{2}})^{2} - 2 m \omega^{2} R \cos \psi · G \frac{M m}{R^{2}} \cos \psi$，联立解得$g \approx g_{0} (1 - \frac{\omega^{2} R}{g_{0}} \cos^{2} \psi)$，故选B.

9. [江西多校2025高一下联考] 一探测器在登陆月球之前围绕月球做匀速圆周运动，其角速度大小 $ \omega $ 的二次方与轨道半径 $ r $ 的三次方之间的关系如图所示。成功登陆月球表面后，某次执行任务时，探测器以大小 $ v_{0} = 1.7 \, m/s $ 的速度沿水平月面匀速行驶，某时刻从高度 $ h = 3.4 \, m $ 的断崖飞出，落到断崖下方的另一水平月面上。已知月球的半径 $ R = 1.7 × 10^{6} \, m $，引力常量 $ G = 6.67 × 10^{-11} \, N · m^{2} · kg^{-2} $，取 $ \sqrt{5} = 2.24 $，计算结果保留两位有效数字。求：
(1) 月球的质量 $ M $；
(2) 月球表面的重力加速度大小 $ g_{0} $；
(3) 探测器刚落到断崖下方的月面上时的速度大小 $ v $ 以及该速度方向与水平方向的夹角 $ \theta $ 的正切值。

答案： 9.
(1)$7.5 × 10^{22} kg$
(2)$1.7 m/s^2$
(3)$3.8 m/s$ $2.0$
[解析]
(1)探测器围绕月球做匀速圆周运动时有$G \frac{M m}{r^{2}} = m \omega^{2} r$，
解得月球的质量$M = \frac{\omega^{2} r^{3}}{G}$，
把题图中的数据代入解得$M \approx 7.5 × 10^{22} kg$.
(2)探测器在月球表面所受万有引力等于重力，即$G \frac{M m}{R^{2}} = m g_{0}$，
解得月球表面的重力加速度大小$g_{0} = \frac{G M}{R^{2}}$，
代入数据解得$g_{0} \approx 1.7 m/s^2$.
(3)探测器从断崖飞出后做平抛运动，设落到月面的竖直方向的速度大小为$v_{y}$，则$v_{y}^{2} = 2 g_{0} h$，
解得$v_{y} = 3.4 m/s$，
探测器刚落到断崖下方的月面上时的速度大小为
关键点：探测器做平抛运动，落到月面的速度为合速度
$v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{y}^{2}} \approx 3.8 m/s$，
探测器刚落到断崖下方的月面上时的速度方向与水平方向的夹角$\theta$的正切值$\tan \theta = \frac{v_{y}}{v_{0}} = 2.0$.