《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

20. (10 分) 如图, 在等边三角形 $ ABC $ 中, $ AD $ 平分 $ \angle BAC $, $ E $ 为 $ AB $ 的中点, $ M $ 是 $ AD $ 上一个动点, 连接 $ MB,ME $. 请用尺规作图的方法补全图形, 写出当 $ MB + ME $ 的值最小时 $ \angle EMB $ 的度数, 并写出简要过程.

答案：
补全图形如图.

$\angle EMB = 60^{\circ}$.理由：连接CM，由题意，可得AD垂直平分BC，$\angle ACB = 60^{\circ}$.
∴　BM = CM.
∴　$MB + ME = MC + ME\geq CE$.
当C，M，E三点共线时，$MB + ME$的值最小，如图

∵　E为AB的中点，
∴　CE平分$\angle ACB$.
∴　$\angle ECB = \angle CBM = 30^{\circ}$.
∴　$\angle EMB = 60^{\circ}$.