《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

23. (12 分)
(1) 【问题初探】在数学社团活动中,李老师给同学们出了这样一道题：
如图①,在$\triangle ABC$中,高$BD$,$CE交于点F$,且$BD = CD$,试说明线段$FC与AB$有怎样的数量关系。
小明经过思考,说出了他的方法：根据已知条件,易证$\triangle ABD\cong\triangle FCD$,从而得出$FC = AB$。
小明判定$\triangle ABD\cong\triangle FCD$的依据可能是______(填序号)。
①SSS ②AAS ③HL ④SAS
(2) 【引导发现】李老师看同学们的兴致很高,又出了一道题：
如图②,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$CD平分\angle ACB$,$BE\perp CD交CD的延长线于点E$。
①填空：$\angle ABE$的度数为______；
②判断线段$BE与CD$的数量关系,并写出证明过程。
(3) 【拓展延伸】如图③,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 90^{\circ}$,点$D在线段BC$上,$BE\perp DF交DF的延长线于点E$,交$AB于点F$,且$\angle ABE = \angle EDB$,请直接写出$BE和DF$的数量关系。

答案：

(1)②
(2)①22.5°
②CD=2BE.证明如下:
分别延长CA,BE交于点F.

∵　　CD平分∠ACB,
∴　　∠FCE=∠BCE.
∵　　BE⊥CD,
∴　　∠CEF=∠CEB=90°.
在△CEF和△CEB中,
∠FCE=∠BCE,
CE=CE,
∠CEF=∠CEB,
∴　　△CEF≌△CEB(ASA).
∴　　FE=BE;
∴　　BF=2BE.
∵　　∠CAB=90°,
∴　　∠BAF=90°.
∴　　∠CEF=∠BAF=90°.
∴　　∠ACD+∠F=∠ABF+∠F;
∴　　∠ACD=∠ABF.
在△ACD和△ABF中,
∠ACD=∠ABF,
AC=AB,
∠CAD=∠BAF,
∴　　△ACD≌△ABF(ASA).
∴　　CD=BF;
∴　　CD=2BE;
(3)BE=$\frac{1}{2}$DF.