《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

22. (10 分) 如图, 已知在 $ \triangle ABC $ 中, $ BD $ 平分 $ \angle ABC $, $ E $ 是 $ BD $ 上一点, $ EA \perp AB $, 且 $ EB = EC $.
(1)若 $ \angle ABC = 44^{\circ} $, 求 $ \angle DEC $ 的度数;
(2)求证: $ BC = 2AB $.

答案：

(1)
∵　$\angle ABC = 44^{\circ}$，BD平分$\angle ABC$，
∴　$\angle EBC = \frac{1}{2}\angle ABC = 22^{\circ}$.
∵　$EB = EC$，
∴　$\angle ECB = \angle EBC = 22^{\circ}$.
∵　$\angle DEC$是$\triangle EBC$的一个外角，
∴　$\angle DEC = \angle ECB + \angle EBC = 44^{\circ}$.
(2)过点E作$EF\perp BC$，垂足为F.

∵　BD平分$\angle ABC$，$EA\perp AB$，$EF\perp BC$，
∴　$EA = EF$.
在$\mathrm{Rt}\triangle AEB$和$\mathrm{Rt}\triangle FEB$中，
$\begin{cases} BE = BE, \\ EA = EF, \end{cases}$
∴　$\mathrm{Rt}\triangle AEB\cong\mathrm{Rt}\triangle FEB(\mathrm{HL})$.
∴　$AB = FB$.
∵　$EB = EC$，$EF\perp BC$，
∴　$BC = 2FB$.
∴　$BC = 2AB$.