《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

23. (11分)在$\triangle ABC$中,E为边BC上一点,D为平面内一点,连接CD,满足$AC = CD$,$∠DCA = 60^{\circ}$.
(1)如图①,若$∠BAE = 60^{\circ}$,$AE = AB$,$AC ⊥ AB$,$AB = 2$,求DE的长;
(2)如图②,若$∠EAC = ∠EDC$,求证:$ED = CE + AE$.

答案：

(1)
∵ AC = CD，∠DCA = 60°，
∴ △ACD是等边三角形.
∴ AD = AC，∠CAD = 60°.
∵ ∠BAE = 60°，AE = AB = 2，
∴ △ABE是等边三角形，∠EAD = ∠BAC = 60° + ∠EAC.
∴ BE = AE = 2.
∵ AC⊥AB，
∴ ∠BAC = 90°.
∴ ∠EAC = 90° - ∠BAE = 30°，∠ECA = 90° - ∠B = 30°.
∴ ∠EAC = ∠ECA.
∴ CE = AE = 2.
∴ CB = BE + CE = 2 + 2 = 4.
在△AED和△ABC中，
$\begin{cases}AD = AC, \\∠EAD = ∠BAC, \\AE = AB,\end{cases}$
∴ △AED≌△ABC(SAS).
∴ DE = BC = 4，即DE的长为4.
(2)如图，在ED上截取DP = AE，连接CP.

∵ ∠EAC = ∠EDC，点P在ED上，
∴ ∠EAC = ∠PDC.
在△EAC和△PDC中，
$\begin{cases}AE = DP, \\∠EAC = ∠PDC, \\AC = DC,\end{cases}$
∴ △EAC≌△PDC(SAS).
∴ CE = CP，∠ACE = ∠DCP.
∴ ∠PCE = ∠ACE + ∠ACP = ∠DCP + ∠ACP = ∠DCA = 60°.
∴ △PCE是等边三角形.
∴ PE = CE.
∵ ED = PE + DP，且PE + DP = CE + AE，
∴ ED = CE + AE.