《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

23. (11 分) 如图, 在平面直角坐标系中, 点 $ A $ 的坐标为 $ (1,0) $, 以线段 $ OA $ 为边在第四象限内作等边三角形 $ AOB $, $ C $ 为 $ x $ 轴正半轴上一动点 $ (OC ＞ 1) $, 连接 $ BC $, 以线段 $ BC $ 为边在第四象限内作等边三角形 $ CBD $, 连接 $ DA $ 并延长, 交 $ y $ 轴于点 $ E $.
(1)求证: $ OC = AD $.
(2)在点 $ C $ 的运动过程中, $ \angle CAD $ 的度数是否会变化? 如果不变, 请求出 $ \angle CAD $ 的度数; 如果改变, 请说明理由.
(3)当点 $ C $ 运动到什么位置时, 以 $ A,E,C $ 为顶点的三角形是等腰三角形? 请直接写出点 $ C $ 的坐标.

答案：
(1)
∵　$\triangle AOB$，$\triangle CBD$都是等边三角形，
∴　$OB = AB$，$CB = DB$，$\angle ABO = \angle DBC$.
∴　$\angle ABO + \angle ABC = \angle DBC + \angle ABC$，
即$\angle OBC = \angle ABD$.
在$\triangle OBC$和$\triangle ABD$中，
$\begin{cases} OB = AB, \\ \angle OBC = \angle ABD, \\ CB = DB, \end{cases}$
∴　$\triangle OBC\cong\triangle ABD(\mathrm{SAS})$.
∴　$OC = AD$.
(2)点C在运动过程中，$\angle CAD$的度数不会发生变化.
∵　$\triangle AOB$是等边三角形，
∴　$\angle BOA = \angle OAB = 60^{\circ}$.
∵　$\triangle OBC\cong\triangle ABD$，
∴　$\angle BAD = \angle BOC = 60^{\circ}$.
∴　$\angle CAD = 180^{\circ} - \angle OAB - \angle BAD = 60^{\circ}$.
(3)$(3,0)$ 提示：由
(2)知，$\angle CAD = 60^{\circ}$.
∴　$\angle OAE = \angle CAD = 60^{\circ}$.
∴　$\angle EAC = 120^{\circ}$，$\angle OEA = 30^{\circ}$.
以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰.
在$\mathrm{Rt}\triangle AOE$中，$OA = 1$，$\angle OEA = 30^{\circ}$.
∴　$AC = AE = 2OA = 2$.
∴　$OC = 3$.
∴　当点C运动到坐标为$(3,0)$时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形.