《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

23. (11 分)如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ BC = AC,∠ACB = 90^{\circ} $,现将该三角形放置在平面直角坐标系中,点 $ B $ 的坐标为 $ (0,1) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (3,0) $.
(1)求点 $ A $ 的坐标;
(2)连接 $ OA $,若 $ P $ 为坐标平面内异于点 $ A $ 的点,且以点 $ O,P,C $ 为顶点的三角形与 $ \triangle OAC $全等,请直接写出满足条件的点 $ P $ 的坐标.

答案：

(1)如图,过点A作AD⊥x轴于点D.

………………………………………………………… 1分
∵ 点B的坐标为(0,1),点C的坐标为(3,0),
∴ OB=1,OC=3. …………………………… 2分
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠BCO+∠ACD=90°. ………………… 3分
∵ AD⊥x轴,OB⊥OC,
∴ ∠ADC=90°,∠COB=90°. …………… 4分
∴ ∠CAD+∠ACD=90°.
∴ ∠CAD=∠BCO. …………………………… 5分
∵ AC=BC,
∴ △ACD≌△CBO(AAS). …………… 6分
∴ CD=OB=1,AD=OC=3.
∴ OD=OC+CD=3+1=4. ………………… 7分
∴ 点A的坐标为(4,3). …………………… 8分
(2)(4,-3)或(-1,3)或(-1,-3). …… 11分
提示:①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP₁C,
∴ △OP₁C≌△OAC.
∴ 点P₁的坐标为(4,-3).
②
∵ 点O和点C关于直线x=$\frac{3}{2}$对称,
∴ 作△OAC关于直线x=$\frac{3}{2}$的轴对称图形得到△CP₂O.
∴ △CP₂O≌△OAC,
∴ 点P₂的坐标为(-1,3).
③作△CP₂O关于x轴的对称图形得到△CP₃O,
∴ △CP₂O≌△CP₃O.
∴ △CP₃O≌△OAC.
∴ 点P₃的坐标为(-1,-3).

∴ 综上所述,点P的坐标为(4,-3)或(-1,3)或(-1,-3).