《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

23. (11 分)新定义：如果两个实数$a$,$b使得关于x的分式方程$\frac{a}{x} + 1 = b$的解是$x = \frac{1}{a + b}$成立,那么我们就把实数$a$,$b组成的数对[a,b]称为关于x的分式方程$\frac{a}{x} + 1 = b$的一个“关联数对”.例如：$a = 2$,$b = -5使得关于x的分式方程$\frac{a}{x} + 1 = b$的解是$x = \frac{1}{2 + (-5)} = -\frac{1}{3}$成立,所以数对$[2,-5]$就是关于x的分式方程$\frac{a}{x} + 1 = b$的一个“关联数对”.(1) 判断下列数对是否为关于$x的分式方程$\frac{a}{x} + 1 = b$的“关联数对”.若是,请在括号内打“√”；若不是,打“×”.
①$[-2,5]$(×)；②$[1,1]$(×).
(2) 若数对$[n^2 - 3,-n^2]$是关于x的分式方程$\frac{a}{x} + 1 = b$的“关联数对”,求$n$的值.
$\because$ 数对$[n^2-3,-n^2]$是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的“关联数对”，$\therefore \frac{n^2-3}{x}+1=-n^2$.解得$x=\frac{3-n^2}{n^2+1}$.$\therefore \frac{1}{n^2-3-n^2}=\frac{3-n^2}{n^2+1}$.解得$n=\sqrt{5}$或$n=-\sqrt{5}$.经检验,$n=\sqrt{5}$或$-\sqrt{5}$符合题意.综上,$n$的值为$\sqrt{5}$或$-\sqrt{5}$.

答案： （1）①× ②×（2）$\because$ 数对$[n^2-3,-n^2]$是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}+1=b$的“关联数对”，$\therefore \frac{n^2-3}{x}+1=-n^2$.解得$x=\frac{3-n^2}{n^2+1}$.$\therefore \frac{}{n^2-3-n^2}=\frac{3-n^2}{n^2+1}$.解得$n=\sqrt{5}$或$n=-\sqrt{5}$.经检验,$n=\sqrt{}\overline{5}$或$-√5$符合题意.综上,$n$的值为$\sqrt{5}$或$-\sqrt{5}$.