《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

18. (8 分) 如图, 一条船上午 6 时从海岛 $ A $ 出发, 以 $ 15 n mile/h $ 的平均速度向正北方向航行, 上午 8 时到达海岛 $ B $ 处, 分别从 $ A,B $ 处望灯塔 $ C $, 测得 $ \angle NAC = 30^{\circ}, \angle NBC = 60^{\circ} $.
(1)求海岛 $ B $ 到灯塔 $ C $ 的距离;
(2)若这条船继续向正北航行, 问: 上午几时小船与灯塔 $ C $ 的距离最短?

答案：

(1)由题意，得$AB = 15× 2 = 30(\mathrm{n mile})$.
∵　$\angle NBC = 60^{\circ}$，$\angle NAC = 30^{\circ}$，
∴　$\angle ACB = \angle NBC - \angle NAC = 30^{\circ}$.
∴　$\angle ACB = \angle NAC$.
∴　AB = BC = 30.
∴　海岛B到灯塔C的距离为30 n mile.
(2)如图，过点C作$CP\perp AB$于点P，则$\angle BPC = 90^{\circ}$.

∴　线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离.
又
∵　$\angle NBC = 60^{\circ}$，
∴　$\angle PCB = 180^{\circ} - \angle BPC - \angle CBP = 30^{\circ}$.
在$\mathrm{Rt}\triangle CBP$中，$\angle PCB = 30^{\circ}$，
∴　$PB = \frac{1}{2}BC = 15\mathrm{n mile}$.
∴　$15÷ 15 = 1$，$8 + 1 = 9$.
故上午9时小船与灯塔C的距离最短.

19. (10 分) 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AD $ 是边 $ BC $ 上的高, $ AC $ 的垂直平分线交 $ DC $ 于点 $ E $, 且 $ BD = DE $. 求证: $ AB + BD = DC $.

答案： 连接AE.
∵　AC的垂直平分线交DC于点E，
∴　AE = CE.
∵　$AD\perp BC$，$BD = DE$，
∴　AD垂直平分BE.
∴　AB = AE.
∴　AB = CE.
∵　$DC = DE + CE$，
∴　$AB + BD = DC$.