《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

22. (10分)在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且$BD = CE$,AD与BE交于点F.
(1)如图①,求证:$AD = BE$;
(2)如图②,过点E作$EG ⊥ AD$于点G,若$BF = 11$,$FG = 6$,求AD的长度.

答案：
(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = BC = CA，∠ABD = ∠C = 60°.
在△ABD和△BCE中，
$\begin{cases}AB = BC, \\∠ABD = ∠C, \\BD = CE,\end{cases}$
∴ △ABD≌△BCE(SAS).
∴ AD = BE.
(2)由
(1)知，△ABD≌△BCE.
∴ ∠BAD = ∠CBE，AD = BE.
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABE + ∠CBE = 60°.
∴ ∠ABE + ∠BAD = 60°.
∵ ∠GFE是△ABF的外角，
∴ ∠GFE = ∠ABE + ∠BAD = 60°.
∵ EG⊥AD，
∴ ∠EGF = 90°.
∴ ∠GEF = 30°.
∴ EF = 2FG.
∴ BE = BF + EF = BF + 2FG.
∵ BF = 11，FG = 6，
∴ AD = BE = BF + 2FG = 11 + 12 = 23.