《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

21. (10 分)先化简,再求值：$(\frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x - 1})\cdot\frac{x^2 - 1}{x}$,其中$-3 ＜ x ＜ 2$,且$x$为整数.下图是甲、乙两同学的部分运算过程：
＜colgroup＞＜col＞＜/col＞＜col＞＜/col＞＜/colgroup＞
甲同学：
解：原式$=[\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}]\cdot\frac{x^2 - 1}{x}$
…$=$
乙同学：
解：原式$=\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{x^2 - 1}{x}+\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{x^2 - 1}{x}$
…$=$

(第 21 题)
(1) 甲同学解法的依据是②,乙同学解法的依据是______③.(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
(2) 请选择一种解法,写出完整的解答过程.

答案： （1）② ③（2）选择以下一种解法即可.甲同学的解法:原式=$\left[\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}\right]\cdot\frac{x^2-1}{x}$$=\frac{x^2-x+x^2+x}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{(x+1)(x-1)}{x}$$=\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{(x+1)(x-1)}{x}$$=2x$.乙同学的解法:原式=$\frac{x}{x+1}\cdot\frac{x^2-1}{xx}+\frac{x}{x-1}\cdot\frac{x^2-1}{x}$$=\frac{x}{x+1}\cdot\frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-}\cdot\frac{(xx+1)(x-1)}{xx}$$=x-1+x+1$$=2x$.