《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

21. (10 分) 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC, \angle BAC = 120^{\circ} $, $ AD $ 是边 $ BC $ 上的中线, $ CD $ 的垂直平分线 $ MF $ 交 $ AC $ 于点 $ F $, 交 $ BC $ 于点 $ M $, 连接 $ DF $.
(1)$ \triangle ADF $ 是等边三角形吗? 为什么?
(2)若 $ MF $ 的长为 $ 1 $, 求 $ AB $ 的长.

答案：
(1)$\triangle ADF$是等边三角形.
理由如下：
∵　$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，
∴　$\angle C = \angle B = \frac{180^{\circ} - \angle BAC}{2} = 30^{\circ}$.
∵　$AB = AC$，AD是边BC上的中线，
∴　$\angle DAC = \frac{1}{2}\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$.
∵　MF是CD的垂直平分线，
∴　$\angle FMC = 90^{\circ}$，$FD = FC$.
∴　$\angle FDC = \angle C = 30^{\circ}$.
∴　$\angle ADF = \angle ADC - \angle FDC = 60^{\circ}$.
∴　$\angle AFD = 180^{\circ} - \angle DAC - \angle ADF = 60^{\circ}$.
∴　$\angle DAC = \angle ADF = \angle AFD$.
∴　$\triangle ADF$是等边三角形.
(2)在$\mathrm{Rt}\triangle FMC$中，$\angle FMC = 90^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，$FM = 1$，
∴　$CF = 2MF = 2$.
∵　$FD = FC$，
∴　$FD = FC = 2$.
∵　$\triangle ADF$是等边三角形，
∴　$AF = FD = 2$.
∴　$AC = AF + FC = 4$.
∵　$AB = AC$，
∴　$AB = 4$.