《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

23. (12 分)下面是某同学把多项式$(x^{2} - 4x + 2)(x^{2} - 4x + 6) + 4$分解因式的过程.
解：设$x^{2} - 4x = y$,
原式$= (y + 2)(y + 6) + 4$(第一步)
$= y^{2} + 8y + 16$(第二步)
$= (y + 4)^{2}$(第三步)
$= (x^{2} - 4x + 4)^{2}$.(第四步)
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用的因式分解的方法是【C】
A. 提公因式法
B. 平方差公式
C. 两数和的平方公式
D. 两数差的平方公式
(2)该同学分解因式的结果是否彻底？若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.
分解不彻底. 结果是$(x - 2)^{4}$.
(3)请你模仿以上方法尝试把多项式$(x^{2} - 2x)(x^{2} - 2x + 2) + 1$分解因式.
设$x^{2}-2x=y$，$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x + 2)+1=y(y + 2)+1=y^{2}+2y + 1=(y + 1)^{2}=(x^{2}-2x + 1)^{2}=(x - 1)^{4}$.

答案：
(1)C
(2)分解不彻底. 结果是(x - 2)⁴.
(3)设x²-2x=y，(x²-2x)(x²-2x + 2)+1=y(y + 2)+1=y²+2y + 1=(y + 1)²=(x²-2x + 1)²=(x - 1)⁴.