《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

18. (9 分)如图,作出 $ \triangle ABC $ 关于 $ x $ 轴对称的 $ \triangle A'B'C' $,写出 $ A',B',C' $ 三点的坐标,并求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案：
如图,作出点A,B,C关于x轴的对称点A',B',C',然后顺次连接,则△A'B'C'即为所求.

………………………………………………………… 3分
A'(3,-4),B'(1,-2),C'(5,-1). ……… 6分
$S_{\triangle ABC}=3×4-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×3=5$.
………………………………………………………… 9分

19. (9 分)如图①,在 $ \triangle ABC $ 中, $ CD $ 是高, $ ∠A = ∠DCB $.

(1)试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由;
(2)如图②,若 $ AE $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线, $ AE $ 与 $ CD $ 相交于点 $ F $,求证: $ ∠CFE = ∠CEF $.

答案：
(1)△ABC是直角三角形. ………… 1分
理由如下:
∵ 在△ABC中,CD是高,
∴ ∠CDA=90°. …………………………… 2分
∴ ∠A+∠ACD=90°.
∵ ∠A=∠DCB,
∴ ∠DCB+∠ACD=90°. ………………… 3分
∴ ∠ACB=90°.
∴ △ABC是直角三角形. ………………… 4分
(2)
∵ AE是角平分线,
∴ ∠DAF=∠CAE. …………………………… 5分
∵ ∠FDA=90°,∠ACE=90°,
∴ ∠DAF+∠AFD=90°,∠CAE+∠CEA=90°, …………………………………………………… 6分
∴ ∠AFD=∠CEA. …………………………… 7分
∵ ∠AFD=∠CFE,
∴ ∠CFE=∠CEA,即∠CFE=∠CEF. …………………………………………………………… 9分