《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

22. (10 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在边 $ AC $ 的延长线上, $ ∠ACB = 100^{\circ},∠BAC $ 的平分线 $ AE $ 交 $ BD $ 于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EM ⊥ AD $,垂足为 $ M $,且 $ ∠CEM = 50^{\circ} $.
(1)求 $ ∠BCE $ 的度数;
(2)求证: $ BE $ 平分 $ ∠CBF $.

答案：

(1)
∵ ∠ACB=100°,
∴ ∠BCM=180°-100°=80°. ………… 1分
∵ EM⊥AD,
∴ ∠CME=90°. …………………………… 3分
∵ ∠CEM=50°,
∴ ∠ECM=90°-∠CEM=90°-50°=40°.
………………………………………………………… 4分
∴ ∠BCE=∠BCM-∠ECM=80°-40°=40°.
………………………………………………………… 5分
(2)如图,过点E分别作EH⊥AF于点H,EN⊥BC于点N

∵ AE平分∠BAC,EH⊥AF,EM⊥AD,
∴ EH=EM. …………………………… 6分
由
(1)知,∠BCE=∠ECM=40°,
∴ CE平分∠BCD. …………………………… 7分
∵ EM⊥AD,EN⊥BC,
∴ EN=EM. …………………………… 8分
∴ EH=EN. …………………………… 9分
∴ BE平分∠CBF. …………………………… 10分