《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

22. (11 分)阅读理解：如图①,在四边形$ABCD$中,$AB// DC$,$E是BC$的中点,若$AE是\angle BAD$的平分线,试判断线段$AB$,$AD$,$DC$之间的等量关系。
(1) 解决此问题可以用如下方法：延长$AE交DC的延长线于点F$,易证$\triangle AEB\cong\triangle FEC$,得到$AB = FC$,从而把线段$AB$,$AD$,$DC$转化在一个三角形中,即可判断线段$AB$,$AD$,$DC$之间的等量关系为______。
(2) 问题探究：如图②,在四边形$ABCD$中,$AB// DC$,$AF与DC的延长线交于点F$,$E是BC$的中点,若$AE是\angle BAF$的平分线,试探究线段$AB$,$AF$,$CF$之间的等量关系,并证明你的结论。
(注：一个三角形中,如果两个角相等,那么它们所对的边也相等)

答案：

(1)AD=AB+DC
(2)结论:AB=AF+CF.证明如下:
如图,延长AE交DF的延长线于点G.

∵　　E是BC的中点，
∴　　CE=BE,
∵　　AB//DC,
∴　　∠BAE=∠G.
在△AEB和△GEC中,
∠BAE=∠G,
∠AEB=∠GEC,
BE=CE,
∴　　△AEB≌△GEC(AAS).
∴　　AB=GC.
∵　　AE是∠BAF的平分线，
∴　　∠BAG=∠FAG.
∵　　∠BAG=∠G,
∴　　∠FAG=∠G.
∴　　AF=GF.
∴　　AB=GC=GF+CF=AF+CF.