《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

23. (9分) 若 $ x $ 满足 $ (9 - x)(x - 4)= 4 $, 求 $ (9 - x)^{2}+(x - 4)^{2} $ 的值.
解: 设 $ 9 - x = a, x - 4 = b $, 则 $ a b= (9 - x)(x - 4)= 4, a + b= (9 - x)+(x - 4)= 5 $. 所以 $ (9 - x)^{2}+(x - 4)^{2}= a^{2}+b^{2}= (a + b)^{2}-2 a b = 5^{2}-2 × 4 = 17 $.
请仿照上面的方法求解下列问题:
(1) 若 $ x $ 满足 $ (5 - x)(x - 2)= 2 $, 求 $ (5 - x)^{2}+(x - 2)^{2} $ 的值;
(2) 已知正方形 $ A B C D $ 的边长为 $ x, E, F $ 分别是 $ A D, D C $ 上的点, 且 $ A E = 1, C F = 3 $, 长方形 $ E M F D $ 的面积是 $ 48 $, 分别以 $ M F, D F $ 为边作正方形, 求阴影部分的面积.

答案： （1）设5 - x=a，x - 2=b，则ab=(5 - x)(x - 2)=2，a + b=(5 - x)+(x - 2)=3.所以(5 - x)² +(x - 2)²=(a + b)² -2ab=3² -2×2=5；（2）
∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3，
∴MF=DE=x -1，DF=x -3.
∴(x -1)(x -3)=48，(x -1)-(x -3)=2.
∴阴影部分的面积=MF² -DF²=(x -1)² -(x -3)².设x -1=a(a＞0)，x -3=b(b＞0)，则ab=(x -1)(x -3)=48，a - b=(x -1)-(x -3)=2.
∴(a + b)²=(a - b)² +4ab=4 +4×48=196.
∴a + b=14.
∴(x -1)² -(x -3)²=a² -b²=(a + b)(a - b)=14×2=28，即阴影部分的面积是28