《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

20. (10分)如图,在$\triangle ABC$中,$CA = CB$,D,E,F分别是AC,BC,AB上的点,且$AF = BE$,连接DE,DF,EF,$∠DFE = ∠A$,FG平分$∠DFE$,求证:$FG ⊥ DE$.

答案：
∵ CA = CB，
∴ ∠A = ∠B.
∵ ∠DFE = ∠A，∠DFE + ∠DFA + ∠EFB = 180°，∠DFA + ∠A + ∠ADF = 180°，
∴ ∠ADF = ∠EFB.
在△ADF和△BFE中，
$\begin{cases}∠ADF = ∠EFB, \\∠A = ∠B, \\AF = BE,\end{cases}$
∴ △ADF≌△BFE(AAS).
∴ DF = EF;
又
∵ FG平分∠DFE，
∴ FG⊥DE.