《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

21. (10 分)如图,$CA = CB$,$CD = CE$,$\angle ACB = \angle DCE = \alpha$,$AD与BE相交于点H$。
(1) 求证：$AD = BE$；
(2) 连接$HC$,求证：$HC平分\angle AHE$；
(3) 求$\angle AHE$的度数(用含$\alpha$的式子表示)。

答案：

(1)
∵　　∠ACB=∠DCE=α,
∴　　∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
CA=CB,
∠ACD=∠BCE,
CD=CE,
∴　　△ACD≌△BCE(SAS).
∴　　AD=BE.
(2)如图,过点C分别作CM⊥AD于点M,
CN⊥BE于点N,则∠AMC=∠BNC=90°.

由
(1)知,△ACD≌△BCE.
∴　　∠CAM=∠CBN;
在△ACM和△BCN中,
∠CAM=∠CBN,
∠AMC=∠BNC,
CA=CB,
∴　　△ACM≌△BCN(AAS).
∴　　CM=CN.
又
∵　　CM⊥HA,CN⊥HE,
∴　　HC平分∠AHE.
(3)由
(1)知,△ACD≌△BCE.
∴　　∠CAD=∠CBE.
设AH与BC相交于点O,则∠AOC=∠BOH.
∴　　∠AHB=∠ACB=α.
∴　　∠AHE=180°−α.