《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

21. (10 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ ∠ABC $ 的平分线和 $ ∠ACB $ 的平分线交于点 $ O $,过点 $ O $ 作 $ EF // BC $,交 $ AB $ 于点 $ E $,交 $ AC $ 于点 $ F $.
(1)若 $ ∠ABC = 40^{\circ},∠ACB = 60^{\circ} $,则 $ ∠BOE + ∠COF $ 的度数为50°;
(2)若 $ ∠ABC = \alpha,∠ACB = \beta $,请用含 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 的式子表示 $ ∠BOE + ∠COF $ 的度数;
(3)若 $ \triangle AEF $ 的周长为 $ 8 cm,BC = 4 cm $,求 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案：
(1)50° ……………………………………… 2分
(2)
∵ ∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于点O,∠ABC=α,∠ACB=β,
∴ ∠ABO=∠CBO=$\frac{\alpha}{2}$,∠ACO=∠BCO=$\frac{\beta}{2}$.
………………………………………………………… 3分
∵ EF//BC,
∴ ∠BOE=∠CBO=$\frac{\alpha}{2}$,∠COF=∠BCO=$\frac{\beta}{2}$.
………………………………………………………… 4分
∴ ∠BOE+∠COF=$\frac{1}{2}$(α+β). ……… 5分
(3)由
(2)可得,∠BOE=∠ABO,∠COF=∠ACO.
∴ BE=OE,OF=CF. …………………………… 7分
∴ △AEF的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=8 cm. …………………………… 9分
∵ BC=4 cm,
∴ △ABC的周长=AB+AC+BC=8+4=12(cm). …………………………………………………… 10分