《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

22. (10 分)问题解决：边长为$a$的两个正方形(阴影部分)如图①所示摆放,构成的大正方形面积可以表示为$(a + a)^{2}或4a^{2}$；边长为$a$,$b$的两个正方形(阴影部分)如图②所示摆放,大正方形面积可以表示为______或______；将边长为$a$,$b$的两个正方形如图③所示叠放在一起,借助图中的图形面积试写出$(a - b)^{2}$,$a^{2}$,$b^{2}$,$ab$这四个代数式之间的等量关系：______.

探究应用：实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图④,它表示了$2m^{2} + 3mn + n^{2} = (2m + n)(m + n)$,请在下面左边的方框中画出一个几何图形,使它的面积是$a^{2} + 4ab + 3b^{2}$,并利用这个图形将$a^{2} + 4ab + 3b^{2}$进行因式分解.
$a^{2} + 4ab + 3b^{2} = $______
阅读材料：若$m^{2} - 2mn + 2n^{2} - 8n + 16 = 0$,求$m$,$n$的值.
解：∵ $m^{2} - 2mn + 2n^{2} - 8n + 16 = 0$,
∴ $(m^{2} - 2mn + n^{2}) + (n^{2} - 8n + 16) = 0$.
∴ $(m - n)^{2} + (n - 4)^{2} = 0$.
∴ $(m - n)^{2} = 0$,$(n - 4)^{2} = 0$.
∴ $n = 4$,$m = 4$.
提升应用：阅读上面右边方框中的材料,根据你的观察,探究下面的问题：
① 若$a^{2} + b^{2} - 4a + 4 = 0$,则$a = $______,$b = $______；
② 已知$\triangle ABC的三边长a$,$b$,$c$都是整数,且满足$2a^{2} + b^{2} - 4a - 6b + 11 = 0$,求$\triangle ABC$的周长.

答案：
问题解决 (a + b)² a²+2ab + b² (a - b)²=a²-2ab + b²探究应用 画图如下：(a + b)(a + 3b)提升应用 ①2 0 提示：
∵ a²+b²-4a + 4 = 0
∴ (a - 2)²+b²=0.
∴ a - 2 = 0，b = 0.解得a = 2，b = 0.②
∵ 2a²+b²-4a - 6b + 11 = 0
∴ 2a²-4a + 2 + b²-6b + 9 = 0.
∴ 2(a - 1)²+(b - 3)²=0.
∴ a - 1 = 0，b - 3 = 0.解得a = 1，b = 3.
∵ 3 - 1 ＜ c ＜ 3 + 1，且c是整数
∴ c = 3.
∴ △ABC的周长为1 + 3 + 3 = 7.