《2025年同步精练广东八年级数学上册北师大版》

6. 暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下：
方案一：购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠.
方案二：不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠.
设某学生暑期健身次数为 $ x $(次),按照方案一所需费用为 $ y_{1} $(元),且 $ y_{1} = k_{1}x + b $；按照方案二所需费用为 $ y_{2} $(元),且 $ y_{2} = k_{2}x $. 其函数图象如图所示.
(1) 求 $ k_{1} $,$ b $ 的值,并说明它们的实际意义.
(2) 求打折前的每次健身费用和 $ k_{2} $ 的值.
(3) 八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 $ 8 $ 次,应选择哪种方案所需费用更少？说明理由.
]

答案： 解:
(1)根据题意,得30=b,① 180=10k₁+b.② 把①代入②,得k₁=15.k₁=15表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元,b=30表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡的费用为30元.
(2)由题意可得,打折前的每次健身费用为15÷0.6=25(元).k₂=25×0.8=20.
(3)选择方案一所需费用更少.理由如下:由
(1)
(2)可知,y₁=15x+30,y₂=20x.当x=8时,选择方案一所需费用:y₁=15×8+30=150;选择方案二所需费用:y₂=20×8=160.
∵150＜160,
∴选择方案一所需费用更少.

7. 为鼓励学生多读书,某图书馆针对学生推出两种新的借阅优惠方案：
甲方案：凭学生证免费办理借阅卡,充值超过 $ 20 $ 元时,超过多少送多少.
乙方案：凭学生证免费办理会员卡,充值每满 $ 40 $ 元再送 $ 20 $ 元.
设借阅时间为 $ x $(天),甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别为 $ y_{1} $(元),$ y_{2} $(元),$ y_{1} $,$ y_{2} $ 关于 $ x $ 的函数图象如图所示.
(1) 直接写出 $ y_{1} $,$ y_{2} $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2) 请求出图中线段 $ AB $ 的长,并说明它的实际意义.
(3) 八年级学生小兰准备用 $ 40 $ 元钱在该图书馆借阅一本书,选择哪种方案更划算？说明理由.
]

答案： 解:
(1)y₁=0.3x+20,y₂=0.5x.
(2)当x=50时,y₁=0.3×50+20=35,y₂=0.5×50=25.
∴AB=y₁-y₂=10.AB的实际意义是当借阅50天时,两种方案每本书的借用租金相差10元.
(3)选择甲方案更划算.理由如下:选择甲方案:借阅卡金额为40+(40-20)=60(元).则0.3x+20=60,解得x=400/3;选择乙方案:会员卡金额为40+20=60(元).则0.5x=60,解得x=120.
∵400/3＞120,
∴选择甲方案更划算.

8. 如图1,长为 $ 60 km $ 的某段线路 $ AB $ 上有甲、乙两车,分别从南站 $ A $ 和北站 $ B $ 同时出发相向而行,达到 $ B $,$ A $ 后立马返回到出发站停止,速度均为 $ 30 km/h $,设甲车、乙车距南站 $ A $ 的路程分别为 $ y_{甲} $,$ y_{乙} (km) $,行驶时间为 $ t(h) (t \geqslant 0) $.
(1) 图2中已画出 $ y_{甲} $ 与 $ t $ 之间的函数图象,其中 $ a = $2,$ b = $4.
(2) 在图2中补画 $ y_{乙} $ 与 $ t $ 之间的函数图象,求出 $ y_{乙} $ 与 $ t $ 之间的关系式(注明自变量的取值范围).
(3) 观察图象,直接写出在整个行驶过程中两车相遇的次数.2
]

(2)补画y乙与t之间的函数图象图略.当0≤t≤2时,设函数表达式为y乙=kx+m,根据题意,得60=m,① 0=2k+m.② 把①代入②,得k=-30.∴y乙=-30t+60(0≤t≤2);当2＜t≤4时,设函数表达式为y乙=30t+n.将(2,0)代入,得2×30+n=0,解得n=-60.∴y乙=30t-60(2＜t≤4).∴y乙={-30t+60(0≤t≤2),30t-60(2＜t≤4).

答案： 解:
(1)2 4
(2)补画y乙与t之间的函数图象图略.当0≤t≤2时,设函数表达式为y乙=kx+m,根据题意,得60=m,① 0=2k+m.② 把①代入②,得k=-30.
∴y乙=-30t+60(0≤t≤2);当2＜t≤4时,设函数表达式为y乙=30t+n.将(2,0)代入,得2×30+n=0,解得n=-60.
∴y乙=30t-60(2＜t≤4).
∴y乙={-30t+60(0≤t≤2),30t-60(2＜t≤4).
(3)在整个行驶过程中两车相遇的次数为2.