《2025年同步精练广东八年级数学上册北师大版》

学习探究
探究平面直角坐标系中两点间的距离,设 $ P_1(x_1,y_1) $,$ P_2(x_2,y_2) $。
(1)如图 1,当点 $ P_1 $,$ P_2 $ 的纵坐标相同时,$ P_1P_2 = $$x_{2}-x_{1}$；当点 $ P_1 $,$ P_2 $ 的横坐标相同时,$ P_1P_2 = $$y_{2}-y_{1}$。

(2)如图 2,$ P_1C = x_2 - x_1 $,$ P_2C = y_2 - y_1 $,由勾股定理,得 $ P_1P_2 = $$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。

答案：
(1)$x_{2}-x_{1}$ $y_{2}-y_{1}$
(2)$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

1. 在平面直角坐标系中,$ A $,$ B $ 两点的坐标分别为 $ (5,-1) $,$ (5,2) $,则 $ A $,$ B $ 两点间的距离为3。

答案： 3

2. 在平面直角坐标系中,已知点 $ P(1,-\sqrt{2}) $ 到原点的距离为(C)
A.1
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.3

答案： C

3. 在平面直角坐标系中,点 $ A(1,2) $,$ B(-3,b) $,当线段 $ AB $ 最短时,线段 $ AB $ 的长为(C)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： C

4. 已知 $ \triangle ABC $ 各顶点的坐标分别为 $ A(-1,4) $,$ B(-3,1) $,$ C(1,1) $,请判定 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由。

答案： 解：$\triangle ABC$是等腰三角形，理由如下：$\because AB=$$\sqrt{(-1+3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{13}$，$BC=\sqrt{(-3-1)^{2}+(1-1)^{2}}=$$4$，$AC=\sqrt{(-1-1)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{13}$，$\therefore AB=AC$，$AB^{2}+AC^{2}$$\neq BC^{2}$，$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形.

5. 如图,已知点 $ A(3,0) $,$ B(0,4) $,在 $ x $ 轴上找一点 $ C $,使 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形,求所有点 $ C $ 的坐标。

答案： 解：设$C(x,0)$，$\because A(3,0)$，$B(0,4)$，$\therefore AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，$AC=$$\sqrt{(3-x)^{2}}=|3-x|$，$BC=\sqrt{x^{2}+16}$.①当$AB=AC$时，$\triangle ABC$为等腰三角形.$\therefore |3-x|=5$，解得$x=-2$或$x=8$.$\therefore$点$C$的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$.②当$AB=BC$时，$\triangle ABC$为等腰三角形.$\therefore \sqrt{x^{2}+16}=5$，解得$x=3$或$x=-3$.当$x=3$时，$A$，$C$两点重合，不合题意，舍去.$\therefore$点$C$的坐标为$(-3,0)$.③当$AC=BC$时，$\triangle ABC$为等腰三角形.$\therefore |3-x|=\sqrt{x^{2}+16}$，解得$x=-\dfrac{7}{6}$.$\therefore$点$C$的坐标为$\left(-\dfrac{7}{6},0\right)$.综上所述，点$C$的坐标为$(-2,0)$，$(8,0)$，$(-3,0)$或$\left(-\dfrac{7}{6},0\right)$.