《2025年同步精练广东八年级数学上册北师大版》

阅读与思考：请阅读下列材料,并完成相应的任务.
勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,大约有五百多种证明方法,下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法.
赵爽利用 4 个全等的直角三角形拼成如图 1 所示的“弦图”,其中 a,b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,四边形 ABDE 和四边形 CFGH 是正方形.
达·芬奇用如图 2 所示的方法证明,其中剪开前的空白部分由 2 个正方形和 2 个全等的直角三角形组成,面积记为 $ S_{1} $；剪开翻转后的空白部分由 2 个全等的直角三角形和 1 个正方形组成,面积记为 $ S_{2} $.

任务：
(1) 下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程,请你帮她补充完整.
证明：由图 1,知 $ S_{正方形ABDE} = 4S_{\triangle ABC} + S_{正方形CFGH} $,正方形 CFGH 的边长为______.
$\because S_{正方形ABDE} = c^{2}$,$ S_{\triangle ABC} = $______,$ S_{正方形CFGH} = $______,
$\therefore c^{2} = 4× \frac{1}{2}ab + (a - b)^{2} = 2ab + a^{2} - 2ab + b^{2} $,即 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $.
(2) 请你参照小颖的验证过程,利用图 2 及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程.
(3) 这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”. 实际上,初中数学还有一些代数恒等式(除上述涉及的)也可以借助“无字证明”来直观解释,请你举出一例,画出图形并直接写出所解释的代数恒等式.

答案：

(1)$a - b$ $\frac{1}{2}ab$ $(a - b)^2$
(2)根据题意，得$S_1=a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$，$S_2=c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$．$\because S_1=S_2$，$\therefore a^2+b^2+ab=c^2+ab$，即$a^2+b^2=c^2$．
(3)$(a + b)^2=a^2+2ab+b^2$，图形如图所示．（答案不唯一）