《2025年同步精练广东八年级数学上册北师大版》

1. (1) 问题发现：如图 1,直线 $ AB // CD $,连接 $ BE $,$ CE $,可以发现 $ \angle BEC = \angle B + \angle C $。
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点 $ E $ 作 $ EF // AB $。
$ \therefore \angle B = \angle BEF $(两直线平行，内错角相等)。
$ \because AB // CD $(已知),
$ \therefore EF // CD $(平行于同一条直线的两条直线平行)。
$ \therefore \angle C = \angle CEF $。
$ \therefore \angle BEF + \angle CEF = \angle B + $$ \angle C $。
$ \therefore \angle BEC = \angle B + \angle C $(等量代换)。
(2) 拓展探究：如果点 $ E $ 运动到如图 2 所示的位置,其他条件不变。求证：$ \angle B + \angle C + \angle BEC = 360^{\circ} $。

答案： 1.（1）两直线平行，内错角相等 平行于同一条直线的两条直线平行 ∠C （2）证明：过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 左侧).
∴∠B+∠BEF=180°.
∵AB//CD，
∴EF//CD.
∴∠C+∠CEF=180°.
∴∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°.
∴∠B+∠C+∠BEC=360°.

【拓展变式】 如图,$ AB // CD $,$ \angle BED = 110^{\circ} $,$ BF $ 平分 $ \angle ABE $,$ DF $ 平分 $ \angle CDE $,则 $ \angle BFD = $______。

答案： 【拓展变式】 125°

2. 已知 $ AB // CD $,$ E $ 为 $ AB $,$ CD $ 之外任意一点。
(1) 如图 1,探究 $ \angle BED $ 与 $ \angle B $,$ \angle D $ 之间的数量关系,并说明理由。

(2) 如图 2,探究 $ \angle CDE $ 与 $ \angle B $,$ \angle BED $ 之间的数量关系,并说明理由。

2.解：
(1)∠B=∠BED+∠D.理由：过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 右侧)，则 AB//CD//EF.
∴∠BEF=∠B，∠D=∠DEF.
∵∠BEF=∠BED+∠DEF，
∴∠B=∠BED+∠D.
(2)∠CDE=∠B+∠BED.理由：过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 右侧)，则 AB//CD//EF.
∴∠B=∠BEF，∠CDE=∠DEF.
∵∠DEF=∠BEF+∠BED，
∴∠CDE=∠B+∠BED.

答案： 2.解：
(1)∠B=∠BED+∠D.理由：过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 右侧)，则 AB//CD//EF.
∴∠BEF=∠B，∠D=∠DEF.
∵∠BEF=∠BED+∠DEF，
∴∠B=∠BED+∠D.
(2)∠CDE=∠B+∠BED.理由：过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 右侧)，则 AB//CD//EF.
∴∠B=∠BEF，∠CDE=∠DEF.
∵∠DEF=∠BEF+∠BED，
∴∠CDE=∠B+∠BED.

【拓展变式】 新考向 传统文化 如图,“抖空竹”是国家级非物质文化遗产。在“抖空竹”的一个瞬间如图 1 所示,将图 1 抽象成一个数学问题：如图 2,若 $ AB // CD $,$ \angle EAB = 70^{\circ} $,$ \angle ECD = 110^{\circ} $,则 $ \angle E = $______。

答案： 【拓展变式】 40°

3. 如图,$ AB // EF $,$ BC \perp CD $,则 $ \angle \alpha $,$ \angle \beta $,$ \angle \gamma $ 之间的关系是(C)

A.$ \angle \beta = \angle \alpha + \angle \gamma $
B.$ \angle \alpha + \angle \beta + \angle \gamma = 180^{\circ} $
C.$ \angle \alpha + \angle \beta - \angle \gamma = 90^{\circ} $
D.$ \angle \beta + \angle \gamma - \angle \alpha = 90^{\circ} $

答案： 3.C

4. 观察图形：

已知 $ a // b $,在图 1 中,可得 $ \angle 1 + \angle 2 = $180$^{\circ}$,在图 2 中,可得 $ \angle 1 + \angle 2 + \angle P_1 = $360$^{\circ}$……按照以上规律,则 $ \angle 1 + \angle 2 + \angle P_1 + … + \angle P_n = $180(n+1)$^{\circ}$。

答案： 4.180 360 180(n+1)