《2025年同步精练广东八年级数学上册北师大版》

8. 对实数$a$,$b$作新定义：$a@b = ab$,$a※b = a^{b}$.在此定义下,计算：$(\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}})@\sqrt{12}-(\sqrt{75}-4\sqrt{3})※2= $$1-3\sqrt{2}$.

答案： $1-3\sqrt{2}$

9. 计算：
(1) $\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{8}$.
(2) $(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48})÷2\sqrt{3}$.
(3) $(\sqrt{2}-6\sqrt{\frac{1}{12}})-(4\sqrt{\frac{1}{8}}-\frac{1}{2}\sqrt{75})$.

答案： 解:
(1)原式$=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
(2)原式$=\left(3× 2\sqrt{3}-2× \dfrac{\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}\right)÷ 2\sqrt{3}=\left(6\sqrt{3}-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}+4\sqrt{3}\right)÷ 2\sqrt{3}=\dfrac{28\sqrt{3}}{3}÷ 2\sqrt{3}=\dfrac{14}{3}$.
(3)原式$=\sqrt{2}-6\sqrt{\dfrac{1}{12}}-4\sqrt{\dfrac{1}{8}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{75}=\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\dfrac{5}{2}\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

10.(教材P48习题T7变式)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,$\triangle ABC的顶点A$,$B$,$C$恰好在格点(网格线的交点)上.
(1) 求$\triangle ABC$的周长.

(2) 求$\triangle ABC$的面积.

答案： 解:
(1)根据题意,得$AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$,$BC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5$,$\therefore \triangle ABC$的周长为$AB+AC+BC=2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}$.
(2)$\because AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$,$\therefore BC^{2}=25$,$AB^{2}+AC^{2}=20+5=25$,$\therefore BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$.$\therefore \triangle ABC$是直角三角形,$\angle BAC=90^{\circ}$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot AB=\dfrac{1}{2}× \sqrt{5}× 2\sqrt{5}=5$.

11. 新考向 阅读理解 阅读与计算：请阅读以下材料,并完成相应的任务.
斐波那契(约1175 - 1250年)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果.在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的花瓣数恰好是斐波那契数列中的数,斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第$n个数可以用\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]$表示(其中$n\geq1$),这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务：请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.

答案： 解:第1个数:当$n=1$时,$\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]=\dfrac{1}{\sqrt{5}}× \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}× \sqrt{5}=1$. 第2个数:当$n=2$时,$\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]=\dfrac{1}{\sqrt{5}}× \left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\right]=\dfrac{1}{\sqrt{5}}× \dfrac{1+2\sqrt{5}+5-1+2\sqrt{5}-5}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}× \sqrt{5}=1$.