《2025年同步精练广东八年级数学上册北师大版》

1. 用 4 个如图 1 所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆,可以摆成如图 2 所示的正方形,下面我们利用这个图形验证勾股定理.


(1)图 2 中大正方形的边长为$a+b$,里面小正方形的边长为$c$.
(2)大正方形面积可以表示为$(a+b)^{2}$,也可以表示为$4× \frac {1}{2}ab+c^{2}$.
(3)对比这两种表示方法,可得出$(a+b)^{2}=4× \frac {1}{2}ab+c^{2}$,整理,得$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

答案： 1.
(1)$a+b$ $c$
(2)$(a+b)^{2}$ $4× \frac {1}{2}ab+c^{2}$
(3)$(a+b)^{2}=4× \frac {1}{2}ab+c^{2}$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

2.(教材 P8 习题 T3 变式)如图,一棵高为 8 m 的大树被台风刮断. 若树在离地面 3 m 的点 C 处折断,则树顶端落在离树底部(A)

A.4 m 处
B.5 m 处
C.6 m 处
D.7 m 处

答案： 2. A

3. 一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位：mm),可得出两圆孔中心 A,B 之间的距离为100mm.

答案： 3.100

4. 新考向 真实情境(教材 P6 随堂练习 T1 变式)如图,原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条无隧道高速公路,后因技术攻关,可以打通由 A 地到 B 地的隧道修建高速公路,其中隧道部分总长为 2 km. 已知高速公路每千米造价为 3 000 万元,隧道高速公路每千米造价为 5 000 万元,AC⊥BC,AC = 80 km,BC = 60 km,则改建后可节省的工程费用是多少？

答案： 4.解:在$Rt\triangle ABC$中,$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$,$\therefore AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=80^{2}+60^{2}=10\ 000$,$\therefore AB=100\ km$. $(80+60)× 3\ 000-(100-2)× 3\ 000-2× 5\ 000=116\ 000$ (万元).答:改建后可节省的工程费用是 116 000 万元.

5. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离 BC 为 0.7 米,梯子顶端到地面的距离 AC 为 2.4 米. 若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离 A'D 为 1.5 米,则小巷的宽为(C)

A.2.5 米
B.2.6 米
C.2.7 米
D.2.8 米

答案： 5.C

6.(2024·眉山)图 1 是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,由四个全等的直角三角形拼成. 若图 1 中大正方形的面积为 24,小正方形的面积为 4,现将这四个直角三角形拼成图 2,则图 2 中大正方形的面积为(D)

A.24
B.36
C.40
D.44

答案： 6.D

7.(教材 P9 习题 T7 变式)如图,某隧道的截面是一个半径为 5.2 m 的半圆形,以中间线为界分成两条车道,试问一辆高 4.1 m、宽 3 m 的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道吗？(中间线宽忽略不计)

答案： 7.解:过圆上一点$A$作地面的垂线,垂足为$B$(不与点$O$重合).当$BO=3\ m$时,$AB^{2}=AO^{2}-OB^{2}=5.2^{2}-3^{2}=18.04$,$\because 4.1^{2}=16.81＜18.04$,$\therefore$一辆高$4.1\ m$、宽$3\ m$的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道.