《2025年同步精练广东八年级数学上册北师大版》

为什么说$\sqrt{2}$不是有理数.
(1)【阅读与思考】
假设$\sqrt{2}$是有理数,那么$\sqrt{2}可以写成两个整数p$,$q的比\frac{p}{q}$($p$,$q$互质),于是有$(\frac{p}{q})^2 = 2$,$p^2 = $$2q^{2}$.因此,$p^2$是偶数,$p$是偶数.
于是可设$p = 2m$,那么$p^2 = $$4m^{2}$$= 2q^2$,$q^2 = $$2m^{2}$.
这就是说,$q^2$是偶数,$q$也是偶数. 这与“$p$,$q$是互质的两个整数”的假设矛盾.
这个矛盾说明,$\sqrt{2}$不能写成分数的形式,即$\sqrt{2}$不是有理数.
(2)【运用并解决】
类比上述的【阅读与思考】,推理说明：
①$\sqrt{3}$不是有理数.
②$\sqrt[3]{6}$不是有理数.
①假设$\sqrt{3}$是有理数，则$\sqrt{3}$可以写成两个整数$m,n$的比$\frac{m}{n}$($m,n$互质)，于是有$(\frac{m}{n})^{2}=3$，$m^{2}=3n^{2}$.因此，$m^{2}$是3的倍数，$m$是3的倍数.于是可设$m=3t$，那么$m^{2}=9t^{2}=3n^{2}$，$n^{2}=3t^{2}$.这就是说，$n^{2}$是3的倍数，$n$也是3的倍数.这与“$m,n$是互质的两个整数”的假设矛盾.这个矛盾说明，$\sqrt{3}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{3}$不是有理数.②假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，则$\sqrt[3]{6}$可以写成两个整数$a,b$的比$\frac{a}{b}$($a,b$互质)，于是有$(\frac{a}{b})^{3}=6$，$a^{3}=6b^{3}$.因此，$a^{3}$是偶数，$a$是偶数.于是可设$a=2s$，那么$a^{3}=8s^{3}=6b^{3}$，$3b^{3}=4s^{3}$.这就是说，$3b^{3}$是偶数，$b^{3}$是偶数，$b$也是偶数.这与“$a,b$是互质的两个整数”的假设矛盾.这个矛盾说明，$\sqrt[3]{6}$不能写成分数的形式，即$\sqrt[3]{6}$不是有理数.

答案： 无理数的发现——教材P28“阅读·思考”变式解：
(1)$2q^{2}-4m^{2}-2m^{2}$
(2)①假设$\sqrt{3}$是有理数，则$\sqrt{3}$可以写成两个整数$m,n$的比$\frac{m}{n}$($m,n$互质)，于是有$(\frac{m}{n})^{2}=3$，$m^{2}=3n^{2}$.因此，$m^{2}$是3的倍数，$m$是3的倍数.于是可设$m=3t$，那么$m^{2}=9t^{2}=3n^{2}$，$n^{2}=3t^{2}$.这就是说，$n^{2}$是3的倍数，$n$也是3的倍数.这与“$m,n$是互质的两个整数”的假设矛盾.这个矛盾说明，$\sqrt{3}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{3}$不是有理数.②假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，则$\sqrt[3]{6}$可以写成两个整数$a,b$的比$\frac{a}{b}$($a,b$互质)，于是有$(\frac{a}{b})^{3}=6$，$a^{3}=6b^{3}$.因此，$a^{3}$是偶数，$a$是偶数.于是可设$a=2s$，那么$a^{3}=8s^{3}=6b^{3}$，$3b^{3}=4s^{3}$.这就是说，$3b^{3}$是偶数，$b^{3}$是偶数，$b$也是偶数.这与“$a,b$是互质的两个整数”的假设矛盾.这个矛盾说明，$\sqrt[3]{6}$不能写成分数的形式，即$\sqrt[3]{6}$不是有理数.