《2025年同步精练广东八年级数学上册北师大版》

12. 将直角三角形三条边的长度同时扩大相同的倍数后得到的三角形(A)
A.仍是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形

答案： A

13. $\triangle ABC的三边长分别为a,b,c$,下列条件：①$\angle A= \angle B-\angle C$；②$\angle A:\angle B:\angle C= 3:4:5$；③$a^{2}= (b + c)(b - c)$；④$a:b:c= 5:12:13$.其中能判定$\triangle ABC$是直角三角形的有(C)
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： C

14. 新考向 数学文化 勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三,股修四,经隅五”,我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”,另一长直角边称为“股”,把斜边称为“弦”.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为$2$的一类勾股数,如：$6,8,10$；$8,15,17$……若此类勾股数的勾为$10$,则其弦是26.

答案： 26

15. 如图,正方形$ABCD由9个边长为1$的小正方形组成,每个小正方形的顶点都叫格点,连接$AE,AF$,则$\angle EAF= $45$^{\circ}$.
]

答案： 45

16. 图$1$是某品牌婴儿车,图$2$为其简化结构示意图.根据安全标准需满足$BC\perp CD$,现测得$AB = CD = 6dm,BC = 3dm,AD = 9dm$,其中$AB与BD之间由一个固定为90^{\circ}$的零件连接(即$\angle ABD = 90^{\circ}$),通过计算说明该车是否符合安全标准.
]

答案： 解:在Rt△ABD中,BD²=AD²-AB²=9²-6²=45,在△BCD中,BC²+CD²=3²+6²=45.
∴BC²+CD²=BD².
∴∠BCD=90°.
∴BC⊥CD.故该车符合安全标准.

17. 新考向 推理能力 我们在课堂上学习了勾股定理后,知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察：$3,4,5$；$5,12,13$；$7,24,25$；$9,40,41$……学生发现这些勾股数的勾都是奇数,且从$3$起就没有间断,于是王老师提出以下问题让学生解决.
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：$11$,______,______.
(2)若第一个数用字母$a$($a$为奇数,且$a\geqslant3$)表示,则后两个数用含$a$的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：$4= \frac{3^{2}-1}{2},12= \frac{5^{2}-1}{2},24= \frac{7^{2}-1}{2}$……于是他很快表示出了第二个数为$\frac{a^{2}-1}{2}$,则用含$a$的代数式表示第三个数为______.
(3)用所学知识说明(2)中用字母$a$表示的三个数是勾股数.
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：$11$,60,61.
(2)若第一个数用字母$a$($a$为奇数,且$a\geqslant3$)表示,则后两个数用含$a$的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：$4= \frac{3^{2}-1}{2},12= \frac{5^{2}-1}{2},24= \frac{7^{2}-1}{2}$……于是他很快表示出了第二个数为$\frac{a^{2}-1}{2}$,则用含$a$的代数式表示第三个数为$\frac{a²+1}{2}$.
(3)用所学知识说明(2)中用字母$a$表示的三个数是勾股数.
∵a²+($\frac{a²-1}{2}$)²=$\frac{a⁴+2a²+1}{4}$,($\frac{a²+1}{2}$)²=$\frac{a⁴+2a²+1}{4}$,
∴a²+($\frac{a²-1}{2}$)²=($\frac{a²+1}{2}$)².又
∵a为奇数,且a≥3,
∴$\frac{a²-1}{2}$,$\frac{a²+1}{2}$都是正整数.
∴a,$\frac{a²-1}{2}$,$\frac{a²+1}{2}$是勾股数.

答案： 解:
(1)60 61
(2)$\frac{a²+1}{2}$
(3)
∵a²+($\frac{a²-1}{2}$)²=$\frac{a⁴+2a²+1}{4}$,($\frac{a²+1}{2}$)²=$\frac{a⁴+2a²+1}{4}$,
∴a²+($\frac{a²-1}{2}$)²=($\frac{a²+1}{2}$)².又
∵a为奇数,且a≥3,
∴$\frac{a²-1}{2}$,$\frac{a²+1}{2}$都是正整数.
∴a,$\frac{a²-1}{2}$,$\frac{a²+1}{2}$是勾股数.