《2025年同步精练广东八年级数学上册北师大版》

15. 已知点$A(a - 1,b + 2)$,$B(3,4)$,$C(-1,-2)$在同一个平面直角坐标系中,且$AB所在的直线平行于x$轴,$AC所在的直线平行于y$轴,则$a + b= $2。

答案： 2

16. 如图,在以点$O$为原点的平面直角坐标系中,点$A$,$B的坐标分别为(a,0)$,$(a,b)$,点$C在y$轴上,且$BC// x$轴,$a$,$b满足\vert a - 3\vert+\sqrt{b - 4}= 0$。点$P$从原点出发,以$1$个单位长度/秒的速度沿着$O - A - B - C - O$的路线运动(回到点$O$为止)。
(1)直接写出点$A$,$B$,$C$的坐标。
(2)当点$P运动5$秒时,求出点$P$的坐标。

(3)点$P运动t秒后(t\neq0)$,是否存在点$P到x轴的距离为\frac{1}{2}t$个单位长度的情况。若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
解:
(1)A(3,0),B(3,4),C(0,4).　
(2)当P运动5秒时,点P运动了1×5=5个单位长度.
∵AO=3,AB=4,
∴点P运动5秒时，点P在线段AB上.
∵AP=5-3=2,
∴点P的坐标是(3,2).　
(3)存在.如图.
∵t≠0,
∴点P可能运动到AB或BC或OC上.①当点P运动到AB上,即0＜t≤7时,P₁A=t-OA=t-3,
∴t-3= $\frac{1}{2}t$,解得t=6.
∴P₁A=1×6-3=3.
∴点P₁的坐标为(3,3);②当点P运动到BC上,即7＜t≤10时,点P₂到x轴的距离为4,
∴$\frac{1}{2}t$=4,解得t=8.
∴P₂C=3+4+3-1×8=2.
∴点P₂的坐标为(2,4);③当点P运动到OC上,即10＜t≤14时,P₃O=OA+AB+BC+OC-t=14-t,
∴14-t= $\frac{1}{2}t$,解得t= $\frac{28}{3}$.
∵$\frac{28}{3}$＜10,
∴此情况不符合题意，舍去.综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况，点的P坐标为(3,3)或(2,4).

【例】若点$M(5 + a,a - 3)$在第二、四象限的角平分线上,则$a= $-1。
分析：在第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,由此,利用相反数的概念列一元一次方程即可得解。

答案： -1

1. 在平面直角坐标系中,若点$P(2m - 3,3m - 1)$在第一、三象限的角平分线上,则点$P$的坐标为(-7,-7)。

答案： (-7,-7)

2. 如图,在$x$轴、$y轴上分别截取OA$,$OB$,使$OA = OB$,再分别以点$A$,$B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点$P$。若点$P的坐标为(a,2a - 3)$,则$a$的值为3。

答案： 3

3. 已知点$P(2a + 5,10 - 3a)$位于两坐标轴所成角的平分线上,则点$P$的坐标为(7,7)或(35,-35)。

答案： (7,7)或(35,-35)