《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

7. 定义：如果 $2^{m}= n$($m$,$n$ 为正数),那么我们把 $m$ 叫作 $n$ 的 $D$ 数,记作 $m = D(n)$.
(1) 根据 $D$ 数的定义,填空：$D(2)=$1,$D(16)=$4.
(2) $D$ 数有如下运算性质：$D(s\cdot t)= D(s)+D(t)$,$D\left(\dfrac{q}{p}\right)= D(q)-D(p)$,其中 $q ＞ p$.
根据运算性质,计算：
①若 $D(a)= 1$,求 $D(a^{3})$；
②若已知 $D(3)= 2a - b$,$D(5)= a + c$,试求 $D(15)$,$D\left(\dfrac{5}{3}\right)$,$D(108)$,$D\left(\dfrac{27}{20}\right)$ 的值.(用 $a$,$b$,$c$ 表示)
①$\because 2^{1}=a$，$\therefore a=2$，$\therefore 2^{3}=2^{3}$. $\therefore D(a^{3})=3$.
②$D(15)=D(3×5)=D(3)+D(5)=(2a-b)+(a+c)=3a-b+c$.
$D(\frac{5}{3})=D(5)-D(3)=(a+c)-(2a-b)=-a+b+c$.
$D(108)=D(3×3×3×2×2)=D(3)+D(3)+D(3)+D(2)+D(2)=3×D(3)+2×D(2)=3×(2a-b)+2×1=6a-3b+2$.
$D(\frac{27}{20})=D(27)-D(20)=D(3×3×3)-D(5×2×2)=D(3)+D(3)+D(3)-[D(5)+D(2)+D(2)]=3×D(3)-[D(5)+2D(2)]=3(2a-b)-(a+c+2×1)=6a-3b-a-c-2=5a-3b-c-2$.

答案： 解：（1）$\because 2^{1}=2$，$\therefore D(2)=1$，$\because 2^{4}=16$，$\therefore D(16)=4$，故答案为1；4.（2）①$\because 2^{1}=a$，$\therefore a=2$，$\therefore 2^{3}=2^{3}$. $\therefore D(a^{3})=3$.②$D(15)=D(3×5)=D(3)+D(5)=(2a-b)+(a+c)=3a-b+c$.$D(\frac{5}{3})=D(5)-D(3)=(a+c)-(2a-b)=-a+b+c$.$D(108)=D(3×3×3×2×2)=D(3)+D(3)+D(3)+D(2)+D(2)=3×D(3)+2×D(2)=3×(2a-b)+2×1=6a-3b+2$.$D(\frac{27}{20})=D(27)-D(20)=D(3×3×3)-D(5×2×2)=D(3)+D(3)+D(3)-[D(5)+D(2)+D(2)]=3×D(3)-[D(5)+2D(2)]=3(2a-b)-(a+c+2×1)=6a-3b-a-c-2=5a-3b-c-2$.

8. (2024·河南)计算 $(\underbrace{a\cdot a…\cdot\cdot a}_{a个})^{3}$ 的结果是(D)
A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{a + 3}$
D.$a^{3a}$

答案： D

9. (2024·济南)下列运算正确的是(D)
A.$3x + 3y = 6xy$
B.$(xy^{2})^{3}= xy^{6}$
C.$3(x + 8)= 3x + 8$
D.$x^{2}\cdot x^{3}= x^{5}$

答案： D

10. (2024·上海)计算：$(4x^{2})^{3}= $$64x^{6}$.

答案： $64x^{6}$