《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

1. 下列说法错误的是（C）
A.三角形的三条角平分线都在三角形内部
B.三角形的重心是三角形三条中线的交点
C.三角形的三条高都在三角形内部
D.三角形的中线、角平分线、高都是线段

答案： 1.C　

2. 如图，$AE$经过$\triangle ABC$的重心$P$.如果$AE = 12$，那么$PE$的长为（ ）

A.$3$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

答案： 2.B　

3. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$G$在小正方形的格点上，则$\triangle ABC$的重心是（ ）
A.点$D$
B.点$E$
C.点$F$
D.点$G$

答案： 3.A

4. 在日常运动中，我们需要保持正确的姿势，这可以使我们的______稳定，帮助我们保持平衡并减少受伤的风险.

答案： 4.重心　

5. 如图，点$D$是$\triangle ABC$的重心，连接$AD$并延长交$BC$于点$E$，$AB = 5$，$\triangle ABE$的周长比$\triangle ACE$的周长大$2$，则$AC$的长度为______.

答案： 5.3　

6. 如图，点$O$是$\triangle ABC$的重心，延长$AO$交$BC$于点$D$，延长$BO$交$AC$于点$E$.若$BC = 6$，$AC = 4$，则$BD + AE =$______.

答案： 6.5　

7. 如图，在$E$，$F$，$G$，$H$四个点中，有一个点是$\triangle ABC$的重心，请你用刻度尺确定这个点是______.

答案： 7.点G

8. 如图，点$G$是$\triangle ABC$的重心.
(1) $\frac{AD}{AB}=$______.
(2) 若$DG = 2$，求$CD$的长.

答案：
8.解:　
(1)$\frac{1}{2}$.
(2)如图,
∵点G为△ABC的重心,
∴由三角形中线性质可得$S_1=S_2$，$S_3=S_4$，$S_5=S_6$，则$S_1+S_5+S_6=S_2+S_3+S_4$，$S_1+S_2+S_3=S_4+S_5+S_6$，
∴$2S_5=2S_4$，$2S_1=2S_6$，
∴$S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6$，则$\frac{S_{\triangle ACG}}{S_{\triangle ADG}}=\frac{CG}{DG}=\frac{S_3+S_4}{S_5}=2$，即$CG=2DG$，
∵$DG=2$，
∴$CD=CG+DG=3DG=6$.
　　　　　　

9. 【问题背景】
(1) 已知点$A(1,2)$，$B(5,2)$，$C(-1,-1)$，$D(3,-3)$，在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段$AB$和$CD$的中点$M$，$N$，然后写出点$M$和点$N$的坐标.
【尝试应用】
(2) ①结合上述结果，我们可以发现：如果线段的两个端点坐标分别为$(a,b)$，$(c,d)$，则这条线段的中点坐标为____________________.
②若点$P(-3,7)$，$Q(1,-3)$，用我们发现的结论可以直接得到线段$PQ$的中点坐标为____________________.
【拓展创新】
(3) 已知三点$E(1,1)$，$F(7,4)$，$H(4,-2)$.
①直接写出线段$EF$的三等分点的坐标.
②三角形的三条中线交于一点，该点到顶点的距离是它到对边中点距离的$2$倍，该点叫作三角形的重心.请你写出$\triangle EFH$的重心$G$的坐标.

答案： 9.解:　
(1)$M(3,2)$，$N(1,-2)$.
(2)①$(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$；②$(-1,2)$.
(3)①$(3,2)$，$(5,3)$；②$G(4,1)$.