《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

9. （2023·灯塔）在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$BD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，$DE\perp AB$ 于点 $E$.
（1）如图 1，连接 $EC$，求证：$\triangle EBC$ 是等边三角形.
（2）点 $M$ 是线段 $CD$ 上的一点（不与点 $C$，$D$ 重合），以 $BM$ 为一边，在 $BM$ 的下方作 $\angle BMG = 60^{\circ}$，$MG$ 交 $DE$ 的延长线于点 $G$. 请你在图 2 中画出完整图形，并直接写出 $MD$，$DG$ 与 $AD$ 之间的数量关系.
（3）如图 3，点 $N$ 是线段 $AD$ 上的一点，以 $BN$ 为一边，在 $BN$ 的下方作 $\angle BNG = 60^{\circ}$，$NG$ 交 $DE$ 的延长线于点 $G$. 试探究 $ND$，$DG$ 与 $AD$ 之间的数量关系，并说明理由.

答案： （1）证明：如图 1 所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC= $\frac{1}{2}$ AB.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠DBC=∠DBA=∠A=30°，
∴DA=DB.
∵DE⊥AB 于点 E，
∴AE=BE= $\frac{1}{2}$ AB，
∴BC=BE，
∴△EBC 是等边三角形.
（2）结论：AD=DG + DM.证明：如图 2 所示，延长 ED 使得 DW=DM，连接 MW，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD.又
∵DM=DW，
∴△WDM 是等边三角形，
∴MW=DM.在△WGM 和△DBM 中，
∵$\begin{cases} ∠W=∠MDB, \\ MW=DM, \\ ∠WMG=∠DMB, \end{cases}$
∴△WGM≌△DBM，
∴BD=WG=DG + DM，
∴AD=DG + DM.
（3）结论：AD=DG - DN.理由：如图 3 所示，延长 BD 至点 H，使得 DH=DN.由（1）得 DA=DB，∠A=30°.
∵DE⊥AB 于点 E，
∴∠2=∠3=60°，
∴∠4=∠5=60°，
∴△NDH 是等边三角形，
∴NH=ND，∠H=∠6=60°，
∴∠H=∠2.
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG + ∠7=∠6 + ∠7，即∠DNG=∠HNB.在△DNG 和△HNB 中，$\begin{cases} ∠DNG=∠HNB, \\ DN=HN, \\ ∠2=∠H, \end{cases}$
∴△DNG≌△HNB（ASA），
∴DG=HB.
∵HB=HD + DB=ND + AD，
∴DG=ND + AD，
∴AD=DG - ND.