《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

【知识点】含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形
在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

答案： 直角边 斜边的一半

1. 如图 15.3 - 10，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB + BC = 12\mathrm{cm}$，则 $AB$ 等于（C）

A.$6\mathrm{cm}$
B.$7\mathrm{cm}$
C.$8\mathrm{cm}$
D.$9\mathrm{cm}$

答案： C

2. 如图 15.3 - 11，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle C = 30^{\circ}$，点 $D$ 在 $BC$ 上，$AB\perp AD$，$AD = 2$，则 $BC$ 等于（C）

A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$8$

答案： C

【例】如图 15.3 - 12，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$AC = 2$，$D$ 为 $BC$ 上一动点，$EF$ 垂直平分 $AD$ 分别交 $AC$ 于点 $E$、交 $AB$ 于点 $F$，求 $BF$ 的最大值.
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、$30^{\circ}$ 角所对直角边是斜边的一半，将求 $BF$ 的最大值转化为求 $AF$ 的最小值是解决本题的关键. 要使 $BF$ 最大，则 $AF$ 需要最小，而 $AF = FD$，从而通过垂线段最短来解决问题.

答案： 解：过点 F 作 FH⊥BC，垂足为 H；连接 DF，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4.
∵EF 垂直平分 AD，
∴AF=DF. 若要使 BF 最大，则 AF 需要最小，设 AF=x，则 BF=4-x，
∵∠B=30°，
∴FH= $\frac{1}{2}$ BF=2 - $\frac{1}{2}$ x，
∴x≥2 - $\frac{1}{2}$ x，解得 x≥$\frac{4}{3}$，
∴AF 的最小值为 $\frac{4}{3}$，BF 的最大值为 4 - $\frac{4}{3}$ = $\frac{8}{3}$.